Use a regra da cadeia para calcular partial z / partial s e partial z / partial t :
z=sen(x) cos (y), x=s t^2, y=s^2 t,

Passo 1

O enunciado dá uma função composta de duas variáveis: queremos as derivadas parciais de z em relação a s e t, sabendo que z depende de x e y por z=sen(x)cos(y) e que x e y são funções de s e t, com x=st² e y=s²t. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que
partial zpartial s=partial zpartial x,partial xpartial s+partial zpartial y,partial ypartial s,
partial zpartial t=partial zpartial x,partial xpartial t+partial zpartial y,partial ypartial t

Passo 3

Vamos calcular primeiro os parciais de z em relação a x e a y. Como z=sen(x)cos(y), temos
partial zpartial x=cos(x)cos(y),
pois derivada de sen(x) é cos(x), e
partial zpartial y=sin(x),( -sin(y))=-sin(x)sin(y),
pois derivada de cos(y) é -sen(y).

Passo 4

Agora derivamos x=st² e y=s²t em relação a s e t:
partial xpartial s=t^2, partial xpartial t=2st,
partial ypartial s=2st, partial ypartial t=s^2

Passo 5

Substituindo esses resultados na regra da cadeia, obtemos:
partial zpartial s=cos(x)cos(y),t^2+l(-sin(x)sin(y)r),2st = t^2cos(x)cos(y)-2stsin(x)sin(y),
partial zpartial t=cos(x)cos(y),2st+l(-sin(x)sin(y)r),s^2 =2stcos(x)cos(y)-s^2sin(x)sin(y)

Passo 6

Finalmente, voltando às variáveis originais x=st² e y=s²t, temos como resposta em função de s e t:

Passo 7

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