Use a regra da cadeia para calcular
e
:
,
Passo 1
O enunciado dá uma função composta de duas variáveis: queremos as derivadas parciais de z em relação a s e t, sabendo que z depende de x e y por z=sen(x)cos(y) e que x e y são funções de s e t, com x=st² e y=s²t. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que
Passo 3
Vamos calcular primeiro os parciais de z em relação a x e a y. Como z=sen(x)cos(y), temos
pois derivada de sen(x) é cos(x), e
pois derivada de cos(y) é -sen(y).
Passo 4
Agora derivamos x=st² e y=s²t em relação a s e t:
Passo 5
Substituindo esses resultados na regra da cadeia, obtemos:
Passo 6
Finalmente, voltando às variáveis originais x=st² e y=s²t, temos como resposta em função de s e t: