1. Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0
onde u=u(x, y).
  1. u=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função u(x,y)=x^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace partial^2upartial x^2-partial^2upartial y^2=0. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem. Para u(x,y)=x^2+y^2 temos:
ux=partialpartial x(x^2+y^2)=2x, uy=partialpartial y(x^2+y^2)=2y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
uxx=partialpartial x(ux)=partialpartial x(2x)=2, uyy=partialpartial y(uy)=partialpartial y(2y)=2

Passo 4

Por fim, substituímos na equação de Laplace:
uxx-uyy=2-2=0,
logo u(x,y)=x^2+y^2 satisfaz partial^2upartial x^2-partial^2upartial y^2=0.

Resposta

A função u(x,y)=x^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace pois uxx=2, uyy=2 e uxx-uyy=0.

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