1. Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0
onde u=u(x, y).
6. u=g(x-y), onde g: R R.

Passo 1

A gente quer mostrar que a função u(x,y)=g(x-y) satisfaz a equação de Laplace partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0. Esse conteúdo envolve equações elípticas e vamos usar a regra da cadeia para computar derivadas parciais.

Passo 2

Definindo v = x - y, escrevemos u(x,y)=g(v). Aplicando a regra da cadeia, obtemos as primeiras derivadas:
ux = g'(v),, uy = -g'(v)

Passo 3

Derivando novamente para achar as segundas derivadas, temos:
uxx = g''(v),, uyy = g''(v)
Substituindo na equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2 = g''(v) - g''(v) = 0
Isso mostra que a equação é satisfeita.

Resposta

A função u(x,y)=g(x-y) satisfaz partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0, logo é solução da equação de Laplace.

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