- Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
onde
.
6.
, onde
.
6.
Passo 1
A gente quer mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
. Esse conteúdo envolve equações elípticas e vamos usar a regra da cadeia para computar derivadas parciais.
Passo 2
Definindo
, escrevemos
. Aplicando a regra da cadeia, obtemos as primeiras derivadas:
Passo 3
Derivando novamente para achar as segundas derivadas, temos:
Substituindo na equação de Laplace:
Isso mostra que a equação é satisfeita.
Resposta
A função
satisfaz
, logo é solução da equação de Laplace.