Use a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para as seguintes funções:
f(x)=x \operatorname{tg}^{-1}(x)+\ln \left(\sqrt{4 x^{3}-3 x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\,\operatorname{tg}^{-1}(x)+\ln\bigl(\sqrt{4x^{3}-3x^{2}}\bigr)
Usaremos regra do produto em x\,\operatorname{tg}^{-1}(x) e regra da cadeia em \ln(\sqrt{\cdot}).

Passo 2

Derivando x\,\operatorname{tg}^{-1}(x) por regra do produto, com u=x e v=\operatorname{tg}^{-1}(x), temos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,\operatorname{tg}^{-1}(x)\bigr) = u'v+uv' = 1\cdot\operatorname{tg}^{-1}(x) + x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 3

Reescrevemos
\ln\bigl(\sqrt{4x^{3}-3x^{2}}\bigr) =\frac{1}{2}\,\ln\bigl(4x^{3}-3x^{2}\bigr)

Passo 4

Agora aplicamos regra da cadeia em \frac{1}{2}\ln(4x^{3}-3x^{2}). Seja g(t)=\ln(t) e h(x)=4x^{3}-3x^{2}. Então
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{2}\ln(h(x))\Bigr] =\frac{1}{2}\,g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x) =\frac{1}{2}\,\frac{1}{4x^{3}-3x^{2}}\cdot(12x^{2}-6x)

Passo 5

Simplificando a fração:
\frac{1}{2}\,\frac{12x^{2}-6x}{4x^{3}-3x^{2}} =\frac{12x^{2}-6x}{2(4x^{3}-3x^{2})} =\frac{6x(2x-1)}{2x^{2}(4x-3)} =\frac{3(2x-1)}{x(4x-3)}

Passo 6

Somando as duas derivadas obtemos
f'(x) =\operatorname{tg}^{-1}(x) +\frac{x}{1+x^{2}} +\frac{3(2x-1)}{x(4x-3)}

Resposta

f'(x) =\operatorname{tg}^{-1}(x) +\frac{x}{1+x^{2}} +\frac{3\,(2x-1)}{x\,(4x-3)}

Exercícios relacionados