Use a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para as seguintes funções:
f(x)=\ln \left(\operatorname{Sen}^{-1}\left(3 x^{2}-1\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\ln\bigl(\Sen^{-1}(3x^{2}-1)\bigr)
e pede f'(x). Aqui vamos aplicar a Regra da Cadeia duas vezes: primeiro para a composição \ln(\,\cdot\,) e depois para \Sen^{-1}(3x^{2}-1).

Passo 2

Derivando f(x)=\ln\bigl(\Sen^{-1}(3x^{2}-1)\bigr) pela Regra da Cadeia, temos
f'(x) =\frac{1}{\Sen^{-1}(3x^{2}-1)}\;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl[\Sen^{-1}(3x^{2}-1)\bigr].

Passo 3

Agora derivamos \Sen^{-1}(u) com u=3x^{2}-1. Sabemos que
\frac{d}{du}\Sen^{-1}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}
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\frac{d}{dx}\Sen^{-1}(3x^{2}-1) =\frac{1}{\sqrt{\,1-(3x^{2}-1)^{2}\,}}\;\cdot\;\frac{d}{dx}(3x^{2}-1).

Passo 4

Por fim, \frac{d}{dx}(3x^{2}-1)=6x. Substituindo de volta em f'(x), obtemos
f'(x) =\frac{1}{\Sen^{-1}(3x^{2}-1)} \;\cdot\; \frac{1}{\sqrt{\,1-(3x^{2}-1)^{2}\,}} \;\cdot\; 6x
e, organizando,
f'(x) =\frac{6x}{\Sen^{-1}(3x^{2}-1)\,\sqrt{1-(3x^{2}-1)^{2}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{6x}{\Sen^{-1}(3x^{2}-1)\,\sqrt{1-(3x^{2}-1)^{2}}}.

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