Exemplo 4

Calcular

u=g(x)

Teorema

Sejam J C R uma função diferenciável definida num intervalo aberto f: I C R R e Im(g) CDom(f) uma função contínua tais que integral f(g(x)) g^prime(x) d x=integral f(u) d u=F(u)+k=F(g(x))+k . Então,
F: I C R R
onde f é uma primitiva de .

Exemplo 5

Calcular

[
\int x^{3} \sqrt{x^{4}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3raizx^4+4,dx. O tema aqui é integração por substituição, pois vemos uma função composta raizx^4+4 cuja derivada envolve um x^3. Vamos usar o Teorema de Substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^4 + 4. Diferenciando, temos du = 4x^3,dx, ou seja, x^3,dx = tfrac14,du. Essa escolha é natural porque a derivada de x^4+4 é exatamente 4x^3, presente na integral original.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u: substituindo raizx^4+4 por raizu e x^3,dx por tfrac14du, obtemos
integral x^3raizx^4+4,dx = integral raizu,tfrac14,du = tfrac14integral u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos integral u^1/2,du. Usando a fórmula integral u^n,du=tfracu^n+1n+1+C para n=tfrac12, temos
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32+C = 23u^tfrac32+C
Multiplicando pelo fator tfrac14, fica
tfrac14cdot23u^tfrac32=tfrac16u^tfrac32

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u = x^4+4, obtemos a primitiva geral
integral x^3raizx^4+4,dx = tfrac16(x^4+4)^tfrac32+C

Resposta

16(x^4+4)^tfrac32+k

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