Exemplo 4
Calcular
Teorema
Sejam
uma função diferenciável definida num intervalo aberto
e
uma função contínua tais que
. Então,
onde
é uma primitiva de
.
Exemplo 5
Calcular
[
\int x^{3} \sqrt{x^{4}+4} d x
\int x^{3} \sqrt{x^{4}+4} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O tema aqui é integração por substituição, pois vemos uma função composta
cuja derivada envolve um
. Vamos usar o Teorema de Substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Escolhemos a substituição
. Diferenciando, temos
, ou seja,
. Essa escolha é natural porque a derivada de
é exatamente
, presente na integral original.
Passo 3
Reescrevendo a integral em termos de
: substituindo
por
e
por
, obtemos
Passo 4
Agora integramos
. Usando a fórmula
para
, temos
Multiplicando pelo fator
, fica
Passo 5
Voltando à variável
pela relação
, obtemos a primitiva geral