Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t, ou ainda, para determinar \partial z / \partial s e \partial z / \partial t.
z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)\\, onde \(x=\cos s \cos t e y=\sin s \cos t.)

Passo 1

O enunciado dá a função
z=\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)
com as substituições
x=\cos s\cos t,\qquad y=\sin s\cos t.
O que se pede (qualquer uma das opções do enunciado): usar a Regra da Cadeia para determinar d z/d t ou \partial z/\partial s e \partial z/\partial t.
Informações relevantes dadas:
  • As expressões de x e y em função de s e t (peguei estas do enunciado).
  • A expressão de z em função de x e y (também do enunciado).

Passo 2

Vamos lembrar a forma da Regra da Cadeia para funções compostas (essa é a ferramenta principal aqui). Se z=f(x,y) e x=x(s,t), y=y(s,t), então as derivadas parciais são:
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}, \qquad \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicando curto e doce: \partial f/\partial x é a variação de z quando x muda mantendo y fixo; \partial x/\partial s é a variação de x quando s muda (mantendo t fixo). A Regra da Cadeia junta essas contribuições.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\ln\left(x^{2}+y^{2}\right) em relação a x e y.
A derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u. Aplicando a regra da cadeia para u=x^{2}+y^{2} obtemos:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Aqui expliquei que a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, e a de y^{2} em relação a x é zero (pois y é tratado como constante ao derivar em relação a x).

Passo 4

Calcular as derivadas de x e y em relação a s e t. Lembrando as derivadas trigonométricas: \frac{d}{du}\cos u=-\sin u e \frac{d}{du}\sin u=\cos u.
Derivando x=\cos s\cos t:
\frac{\partial x}{\partial s}=-\sin s\cos t, \qquad \frac{\partial x}{\partial t}=\cos s\cdot(-\sin t)=-\cos s\sin t.
Derivando y=\sin s\cos t:
\frac{\partial y}{\partial s}=\cos s\cos t, \qquad \frac{\partial y}{\partial t}=\sin s\cdot(-\sin t)=-\sin s\sin t.

Passo 5

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para \partial z/\partial s. Usando as fórmulas dos Passos 3 e 4:
\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\sin s\cos t\right) +\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(\cos s\cos t\right).
Fatorando 2/(x^{2}+y^{2}) e \cos t:
\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{2\cos t}{x^{2}+y^{2}}\left(-x\sin s+y\cos s\right).
Agora substituí x=\cos s\cos t e y=\sin s\cos t dentro do parêntese:
-x\sin s+y\cos s =-(\cos s\cos t)\sin s+(\sin s\cos t)\cos s =\cos t\bigl(-\cos s\sin s+\sin s\cos s\bigr)=0.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial s}=0.
Interpretação prática: a dependência angular em s cancela; z não muda se apenas s variar mantendo t fixo.

Passo 6

Agora calculamos \partial z/\partial t pela Regra da Cadeia:
\frac{\partial z}{\partial t} =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\cos s\sin t\right) +\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\sin s\sin t\right).
Fatorando -2\sin t/(x^{2}+y^{2}):
\frac{\partial z}{\partial t} =-\frac{2\sin t}{x^{2}+y^{2}}\left(x\cos s+y\sin s\right).
Substituindo x=\cos s\cos t e y=\sin s\cos t no parêntese:
x\cos s+y\sin s =(\cos s\cos t)\cos s+(\sin s\cos t)\sin s =\cos t\left(\cos^{2}s+\sin^{2}s\right)=\cos t.
Então
\frac{\partial z}{\partial t} =-\frac{2\sin t}{x^{2}+y^{2}}\cdot\cos t =-\frac{2\cos t\sin t}{x^{2}+y^{2}}.
Agora calculamos x^{2}+y^{2} usando as expressões de x e y:
x^{2}+y^{2}=(\cos s\cos t)^{2}+(\sin s\cos t)^{2} =\cos^{2}t\left(\cos^{2}s+\sin^{2}s\right)=\cos^{2}t.
Substituindo isso:
\frac{\partial z}{\partial t} =-\frac{2\cos t\sin t}{\cos^{2}t} =-2\frac{\sin t}{\cos t}=-2\tan t.

Passo 7

Resumo rápido e uma observação útil para a prova: a forma simplificada de z pode ser vista diretamente antes de derivar. Como x^{2}+y^{2}=\cos^{2}t, tem-se
z=\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)=\ln\left(\cos^{2}t\right)=2\ln\left|\cos t\right|.
Dessa forma é imediato que \partial z/\partial s=0 e \partial z/\partial t é a derivada de 2\ln|\cos t|, que também dá -2\tan t. Isso é um atalho prático para a prova.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=0
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=-2\tan t

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