Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
, ou ainda, para determinar
e
.
e
.)
e
Passo 1
O enunciado dá a função
com as substituições
O que se pede (qualquer uma das opções do enunciado): usar a Regra da Cadeia para determinar
ou
e
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- As expressões de
e em função de e (peguei estas do enunciado). - A expressão de
em função de e (também do enunciado).
Passo 2
Vamos lembrar a forma da Regra da Cadeia para funções compostas (essa é a ferramenta principal aqui). Se
e
,
, então as derivadas parciais são:
Explicando curto e doce:
é a variação de
quando
muda mantendo
fixo;
é a variação de
quando
muda (mantendo
fixo). A Regra da Cadeia junta essas contribuições.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia para
obtemos:
De modo análogo,
Aqui expliquei que a derivada de
em relação a
é
, e a de
em relação a
é zero (pois
é tratado como constante ao derivar em relação a
).
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
em relação a
e
. Lembrando as derivadas trigonométricas:
e
.
Derivando
:
Derivando
:
Passo 5
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para
. Usando as fórmulas dos Passos 3 e 4:
Fatorando
e
:
Agora substituí
e
dentro do parêntese:
Portanto
Interpretação prática: a dependência angular em
cancela;
não muda se apenas
variar mantendo
fixo.
Passo 6
Agora calculamos
pela Regra da Cadeia:
Fatorando
:
Substituindo
e
no parêntese:
Então
Agora calculamos
usando as expressões de
e
:
Substituindo isso:
Passo 7
Resumo rápido e uma observação útil para a prova: a forma simplificada de
pode ser vista diretamente antes de derivar. Como
, tem-se
Dessa forma é imediato que
e
é a derivada de
, que também dá
. Isso é um atalho prático para a prova.