Calcule a diferencial (notação clássica) das funções
(d) w=e^{x^{2}-y-z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferencial (notação clássica) da função dada. A função fornecida é
w = e^{x^{2}-y-z^{2}}.
O que se quer é a expressão de dw em termos de dx, dy e dz.

Passo 2

Lembrete importante (o que é diferencial total): para uma função w=w(x,y,z) de três variáveis, a diferencial total dw é a aproximação linear do acréscimo de w quando as variáveis mudam um pouco. A fórmula é
dw = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy + \frac{\partial w}{\partial z}\,dz.
Aqui \frac{\partial w}{\partial x} significa a derivada parcial de w em relação a x mantendo y e z constantes; analogamente para as outras parciais. A diferencial dw é uma combinação linear dos incrementos dx,dy,dz.

Passo 3

Estratégia prática: usar a regra da cadeia. Note que w é uma composição
w = f(u),\qquad \text{onde}\qquad f(u)=e^{u}\quad\text{e}\quad u(x,y,z)=x^{2}-y-z^{2}.
A regra da cadeia diz que, para cada variável (por exemplo x),
\frac{\partial w}{\partial x} = f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Como f'(u)=e^{u}, as derivadas parciais de w serão e^{u} vezes as derivadas parciais de u.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u(x,y,z)=x^{2}-y-z^{2}. Fazer isto é direto: trate as outras variáveis como constantes.
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x,
\frac{\partial u}{\partial y} = -1,
\frac{\partial u}{\partial z} = -2z.

Passo 5

Agora multiplicar por f'(u)=e^{u}=e^{x^{2}-y-z^{2}} para obter as parciais de w:
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{x^{2}-y-z^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}-y-z^{2}},
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{x^{2}-y-z^{2}}\cdot (-1) = -e^{x^{2}-y-z^{2}},
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{x^{2}-y-z^{2}}\cdot (-2z) = -2z\,e^{x^{2}-y-z^{2}}.

Passo 6

Juntar tudo na fórmula da diferencial total:
dw = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy + \frac{\partial w}{\partial z}\,dz.
Substituindo as parciais obtidas:
dw = 2x\,e^{x^{2}-y-z^{2}}\,dx - e^{x^{2}-y-z^{2}}\,dy - 2z\,e^{x^{2}-y-z^{2}}\,dz.
Fatorando e^{x^{2}-y-z^{2}} (opcional, deixa mais compacto):
dw = e^{x^{2}-y-z^{2}}\bigl(2x\,dx - dy - 2z\,dz\bigr).

Resposta

dw = e^{x^{2}-y-z^{2}}\bigl(2x\,dx - dy - 2z\,dz\bigr).

Exercícios relacionados