Calcule a diferencial (notação clássica) das funções
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a diferencial (notação clássica) da função dada. A função fornecida é
O que se quer é a expressão de
em termos de
,
e
.
Passo 2
Lembrete importante (o que é diferencial total): para uma função
de três variáveis, a diferencial total
é a aproximação linear do acréscimo de
quando as variáveis mudam um pouco. A fórmula é
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
mantendo
e
constantes; analogamente para as outras parciais. A diferencial
é uma combinação linear dos incrementos
.
Passo 3
Estratégia prática: usar a regra da cadeia. Note que
é uma composição
A regra da cadeia diz que, para cada variável (por exemplo
),
Como
, as derivadas parciais de
serão
vezes as derivadas parciais de
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
. Fazer isto é direto: trate as outras variáveis como constantes.
Passo 5
Agora multiplicar por
para obter as parciais de
:
Passo 6
Juntar tudo na fórmula da diferencial total:
Substituindo as parciais obtidas:
Fatorando
(opcional, deixa mais compacto):