Utilizando o Teorema 3, verifique que as funções abaixo são diferenciáveis.
(f) f(x, y)=\left{\begin{array}{cl}
\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\
0, & \text { se }(x, y)=(0,0)
\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por
\[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
E pede: verificar que f\] é diferenciável (ou seja, verificar diferenciabilidade em todos os pontos do domínio).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada por uma fórmula racional quando \((x,y)\neq(0,0).
- O valor em (0,0) foi definido como 0.
- Deve-se usar o Teorema 3 (o enunciado pediu isso); portanto será verificado que as derivadas parciais existem numa vizinhança e são contínuas no ponto crítico, o que garante diferenciabilidade segundo tal teorema.]
Passo 2
Observação rápida sobre pontos (x,y)\neq(0,0).
Para qualquer ponto com x^{2}+y^{2}\neq0 a função é quociente de funções polinomiais (o numerador x y^{3} e o denominador x^{2}+y^{2}), com o denominador não nulo. Portanto f é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0) (funções polinomiais são diferenciáveis e o quociente é diferenciável onde o denominador é não nulo). Assim só resta verificar diferenciabilidade em (0,0).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais em (0,0) pela definição. Lembre a definição: a derivada parcial em relação a x em (0,0) é
Conclusão deste passo: \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} para (x,y)\neq(0,0) (usando regra do quociente). Seja r^{2}=x^{2}+y^{2}. Para (x,y)\neq(0,0) temos f(x,y)=\dfrac{x y^{3}}{r^{2}}. Aplique a regra do quociente:
Derivando em relação a x: numerador N(x,y)=x y^{3} tem \partial N/\partial x=y^{3}. Então
Estas expressões valem para todos os (x,y)\neq(0,0). Note que já mostramos em
Passo 5
Mostrar que as derivadas parciais são contínuas em (0,0). Para usar o Teorema 3 (que afirma que se as derivadas parciais existem numa vizinhança do ponto e são contínuas no ponto então f é diferenciável nele) precisamos verificar continuidade das expressões do
Passo 6
Usamos coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituindo nas expressões obtidas:
\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right| \le r\;|\sin^{3}\theta|\;|\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta| \le r.
Como r\to0 implica r\to0, segue que \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0). Isso mostra continuidade de \dfrac{\partial f}{\partial x} em (0,0) (e combina com o valor \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 calculado antes).
pois 3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\le 4 e os demais fatores têm módulo ≤1. Assim \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\to0 quando r\to0, mostrando continuidade de \dfrac{\partial f}{\partial y} em (0,0) (compatível com \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0).
Conclui-se: as derivadas parciais existem numa vizinhança de (0,0) (são as expressões do
Passo 7
Pelo Teorema 3 (hipótese satisfeita), f é diferenciável em (0,0). Juntando com o resultado do
Passo 8
Comentário didático final (rapidez para a prova): uma verificação alternativa direta é notar que em coordenadas polares, para (x,y)\neq(0,0),
quando r\to0, mostrando pela definição que f é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo. Essa verificação direta dá a mesma conclusão e é útil para responder rapidamente em prova. Mas, conforme pedido, a conclusão acima foi obtida via continuidade das derivadas parciais (Teorema 3).
Resposta
A função f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.