(1.0) Use a regra da cadeia para determinar
sendo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A função composta é
. - As variáveis dependem de
assim: , , . - O pedido é calcular
, ou seja, a derivada total de em relação a .
Informações úteis que vamos usar (guardadas para os passos seguintes):
- Precisaremos das derivadas
, , . - Vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: expressar
em função das derivadas parciais de e das derivadas de em relação a .
Passo 2
Relembrando a regra da cadeia para este caso (aulas rapidinhas e práticas).
Se e
, então a derivada total de
em relação a
é
Se
Explicando isso de leve: cada termo diz “como
muda se eu variar uma das variáveis
(derivada parcial) vezes a velocidade com que essa variável muda no tempo (derivada temporal)”. É a forma padrão de acompanhar variações quando várias variáveis dependem de uma só.
Passo 3
Calcular as derivadas temporais de
(essas são fáceis):
- Como
, tem-se
- Como
,
- Como
,
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, note que é produto de
por
. Vamos derivar em relação a cada variável mantendo as outras fixas.
Primeiro, note que
- Derivada parcial em relação a
:
dado queé constante quando variamos ,
- Derivada parcial em relação a
:
aquié tratada como constante e usamos a regra da cadeia para a exponencial: a derivada de é . Com e ,
- Derivada parcial em relação a
:
semelhante ao caso de, mas , portanto
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia juntando os termos calculados:
Substituindo as parciais e as derivadas temporais:
Passo 6
Fazer a substituição final
,
,
e simplificar, notando que todos os termos têm o fator comum
:
Primeiro escrevendo o expoente com as substituições:
Primeiro escrevendo o expoente com as substituições:
Agora cada termo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando e fatorando
:
Podemos dar uma forma trigonométrica alternativa usando
, obtendo a forma mais compacta