(1.0) Use a regra da cadeia para determinar \frac{d w}{d t} sendo w=x e^{y^{2}-z^{2}} \operatorname{com} x=t, y=\cos t, z=\ln t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A função composta é w = x e^{y^{2}-z^{2}}.
  • As variáveis dependem de t assim: x = t, y = \cos t, z = \ln t.
  • O pedido é calcular \dfrac{d w}{d t}, ou seja, a derivada total de w em relação a t.
Informações úteis que vamos usar (guardadas para os passos seguintes):
  • Precisaremos das derivadas \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}, \dfrac{dz}{dt}.
  • Vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: expressar \dfrac{dw}{dt} em função das derivadas parciais de w e das derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

Relembrando a regra da cadeia para este caso (aulas rapidinhas e práticas).
Se w = w(x,y,z) e x=x(t),\,y=y(t),\,z=z(t), então a derivada total de w em relação a t é
\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{d z}{d t}.
Explicando isso de leve: cada termo diz “como w muda se eu variar uma das variáveis x,y,z (derivada parcial) vezes a velocidade com que essa variável muda no tempo (derivada temporal)”. É a forma padrão de acompanhar variações quando várias variáveis dependem de uma só.

Passo 3

Calcular as derivadas temporais de x,y,z (essas são fáceis):
  • Como x=t, tem-se
\frac{d x}{d t}=1.
  • Como y=\cos t,
\frac{d y}{d t}=-\sin t.
  • Como z=\ln t,
\frac{d z}{d t}=\frac{1}{t}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de w(x,y,z)=x e^{y^{2}-z^{2}}.
Primeiro, note que w é produto de x por e^{y^{2}-z^{2}}. Vamos derivar em relação a cada variável mantendo as outras fixas.
  • Derivada parcial em relação a x:
    dado que e^{y^{2}-z^{2}} é constante quando variamos x,
\frac{\partial w}{\partial x}=e^{y^{2}-z^{2}}.
  • Derivada parcial em relação a y:
    aqui x é tratada como constante e usamos a regra da cadeia para a exponencial: a derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u'. Com u=y^{2}-z^{2} e u'=\dfrac{\partial u}{\partial y}=2y,
\frac{\partial w}{\partial y}=x\cdot e^{y^{2}-z^{2}}\cdot 2y = 2xy\,e^{y^{2}-z^{2}}.
  • Derivada parcial em relação a z:
    semelhante ao caso de y, mas \dfrac{\partial u}{\partial z}=-2z, portanto
\frac{\partial w}{\partial z}=x\cdot e^{y^{2}-z^{2}}\cdot(-2z) = -2xz\,e^{y^{2}-z^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia juntando os termos calculados:
\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{d z}{d t}.
Substituindo as parciais e as derivadas temporais:
\frac{d w}{d t}=e^{y^{2}-z^{2}}\cdot 1 + \bigl(2xy\,e^{y^{2}-z^{2}}\bigr)\cdot(-\sin t) + \bigl(-2xz\,e^{y^{2}-z^{2}}\bigr)\cdot\frac{1}{t}.

Passo 6

Fazer a substituição final x=t, y=\cos t, z=\ln t e simplificar, notando que todos os termos têm o fator comum e^{y^{2}-z^{2}}:
Primeiro escrevendo o expoente com as substituições:
e^{y^{2}-z^{2}}=e^{\cos^{2}t-(\ln t)^{2}}.
Agora cada termo:
  • Primeiro termo: e^{\cos^{2}t-(\ln t)^{2}}.
  • Segundo termo: 2xy\,e^{\ldots}\cdot(-\sin t)=2\cdot t\cdot\cos t\cdot e^{\ldots}\cdot(-\sin t) = -2t\cos t\sin t\,e^{\ldots}.
  • Terceiro termo: -2xz\,e^{\ldots}\cdot\frac{1}{t}=-2t\ln t\,e^{\ldots}\cdot\frac{1}{t} = -2\ln t\,e^{\ldots}.
Somando e fatorando e^{\cos^{2}t-(\ln t)^{2}}:
\frac{d w}{d t}=e^{\cos^{2}t-(\ln t)^{2}}\Bigl(1-2t\cos t\sin t-2\ln t\Bigr).
Podemos dar uma forma trigonométrica alternativa usando 2\cos t\sin t=\sin 2t, obtendo a forma mais compacta
\frac{d w}{d t}=e^{\cos^{2}t-(\ln t)^{2}}\Bigl(1 - t\sin 2t - 2\ln t\Bigr).

Resposta

\frac{d w}{d t}=e^{\cos^{2}t-(\ln t)^{2}}\Bigl(1 - t\sin 2t - 2\ln t\Bigr)

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