Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
, se
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (não pergunto nada a mais, só organizo o que foi dado):
- A função dependente é
(ou seja, vamos achar ). - Foi dada a expressão (vou tratar
como igual à expressão dada):
- As variáveis
e são funções de ; os valores dados são:
O que o enunciado pede: calcular
usando a regra da cadeia, substituindo
e
pelas suas expressões em
.
Passo 2
Ideia da regra da cadeia para funções de várias variáveis (explicação didática): quando
depende de
e
, e
e
dependem de
, a variação de
em relação a
vem das variações de
e de
. Matematicamente a fórmula é
Explicando cada termo:
-
é a derivada de em relação a considerando fixa (chama-se derivada parcial). -
é a derivada de em relação a . - O segundo termo é análogo, para a dependência de
em .
Essa fórmula é apenas a versão multivariável da regra da cadeia; é ela que vamos aplicar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Começando de
Para
: usar a regra da cadeia interna (derivada da exponencial é ela mesma vezes derivada do expoente).
O expoente é . Derivando
em relação a
(tratando
como constante) obtemos
. Logo,
O expoente é
Para
: derivando
em relação a
(tratando
como constante) obtemos
. Portanto
Passo 4
Calcular
e
a partir das expressões dadas:
Aqui usei as derivadas básicas de seno e cosseno.
Passo 5
Agora aplicar a fórmula da regra da cadeia vista no Passo 2, substituindo as derivadas parciais e as derivadas de
:
Fatorando
temos
Passo 6
Substituir
e
na expressão para escrever
só em função de
. Primeiro o expoente:
Agora os fatores dentro do parêntese:
Portanto
Se quiser, pode fatorar
: