Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
\frac{d z}{d t}, se w=e^{x^{2} y}, x=\operatorname{sen} t, y=\cos t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (não pergunto nada a mais, só organizo o que foi dado):
  • A função dependente é z (ou seja, vamos achar \dfrac{dz}{dt}).
  • Foi dada a expressão (vou tratar z como igual à expressão dada):
z = e^{x^{2}y}
  • As variáveis x e y são funções de t; os valores dados são:
x = \sin t,\qquad y = \cos t.
O que o enunciado pede: calcular \dfrac{dz}{dt} usando a regra da cadeia, substituindo x e y pelas suas expressões em t.

Passo 2

Ideia da regra da cadeia para funções de várias variáveis (explicação didática): quando z depende de x e y, e x e y dependem de t, a variação de z em relação a t vem das variações de x e de y. Matematicamente a fórmula é
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada de z em relação a x considerando y fixa (chama-se derivada parcial).
  • \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t.
  • O segundo termo é análogo, para a dependência de z em y.
    Essa fórmula é apenas a versão multivariável da regra da cadeia; é ela que vamos aplicar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Começando de
z = e^{x^{2}y}.
Para \dfrac{\partial z}{\partial x}: usar a regra da cadeia interna (derivada da exponencial é ela mesma vezes derivada do expoente).
O expoente é x^{2}y. Derivando x^{2}y em relação a x (tratando y como constante) obtemos 2x y. Logo,
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x^{2}y}\cdot(2x y).
Para \dfrac{\partial z}{\partial y}: derivando x^{2}y em relação a y (tratando x como constante) obtemos x^{2}. Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{x^{2}y}\cdot x^{2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das expressões dadas:
x=\sin t\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=\cos t,
y=\cos t\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=-\sin t.
Aqui usei as derivadas básicas de seno e cosseno.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula da regra da cadeia vista no Passo 2, substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x,y:
\frac{dz}{dt}=\left(e^{x^{2}y}\cdot 2x y\right)\cdot\cos t+\left(e^{x^{2}y}\cdot x^{2}\right)\cdot(-\sin t).
Fatorando e^{x^{2}y} temos
\frac{dz}{dt}=e^{x^{2}y}\left(2x y\cos t - x^{2}\sin t\right).

Passo 6

Substituir x=\sin t e y=\cos t na expressão para escrever \dfrac{dz}{dt} só em função de t. Primeiro o expoente:
x^{2}y=(\sin t)^{2}\cos t=\sin^{2}t\cos t.
Agora os fatores dentro do parêntese:
2x y\cos t = 2(\sin t)(\cos t)\cos t = 2\sin t\cos^{2}t,
x^{2}\sin t = (\sin t)^{2}\sin t=\sin^{3}t.
Portanto
\frac{dz}{dt}=e^{\sin^{2}t\cos t}\left(2\sin t\cos^{2}t-\sin^{3}t\right).
Se quiser, pode fatorar \sin t:
\frac{dz}{dt}=e^{\sin^{2}t\cos t}\,\sin t\left(2\cos^{2}t-\sin^{2}t\right).

Resposta

\frac{dz}{dt}=e^{\sin^{2}t\cos t}\left(2\sin t\cos^{2}t-\sin^{3}t\right)

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