Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
\frac{d z}{d t}, se z=x^{3} y^{2}-3 x y, \quad x=2 t, y=6 t^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função z é dada por z = x^{3} y^{2} - 3 x y.
  • As variáveis x e y são funções de t: x = 2 t e y = 6 t^{2}.
O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{d z}{d t}.

Passo 2

Ideia que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis, explicada de um jeito bem prático):
Se z depende de x e y, e x e y dependem de t, então a variação de z em relação a t vem das variações de x e de y. A fórmula é
\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
Aqui:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x, isto é, a derivada tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y, tratando x como constante.
  • \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t} são as derivadas das funções x(t) e y(t).
Além disso, ao calcular as derivadas parciais vamos precisar das regras básicas:
  • Regra da potência: \dfrac{d}{d x}(x^{n}) = n x^{n-1}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{d x}(u v) = u' v + u v'.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z.
A função é z(x,y)=x^{3}y^{2}-3xy.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{2}\big) - \frac{\partial}{\partial x}\big(3 x y\big).
Na primeira parcela y^{2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{2}\big)=3x^{2}y^{2}.
Na segunda parcela y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(3 x y\big)=3y.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}y^{2}-3y.
Agora derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{2}\big) - \frac{\partial}{\partial y}\big(3 x y\big).
Na primeira parcela x^{3} é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{2}\big)=x^{3}\cdot 2y = 2x^{3}y.
Na segunda parcela x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(3 x y\big)=3x.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=2x^{3}y-3x.

Passo 4

Calcular \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t} a partir de x=2t e y=6t^{2}:
\frac{d x}{d t}=2, \qquad \frac{d y}{d t}=12t.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia:
\frac{d z}{d t}=\left(3x^{2}y^{2}-3y\right)\frac{d x}{d t}+\left(2x^{3}y-3x\right)\frac{d y}{d t}.
Substituindo \dfrac{d x}{d t}=2 e \dfrac{d y}{d t}=12t:
\frac{d z}{d t}=2\big(3x^{2}y^{2}-3y\big)+12t\big(2x^{3}y-3x\big).

Passo 6

Agora vamos substituir x=2t e y=6t^{2}. Primeiro calcule potências que aparecem:
x^{2}=(2t)^{2}=4t^{2},\qquad y^{2}=(6t^{2})^{2}=36t^{4},\qquad x^{3}=(2t)^{3}=8t^{3}.
Calcule cada parenteses separadamente.
Para o primeiro parêntese:
3x^{2}y^{2}-3y = 3\cdot(4t^{2})\cdot(36t^{4}) - 3\cdot(6t^{2}).
Calcule os produtos:
3\cdot4\cdot36 = 3\cdot144 = 432,
então
3x^{2}y^{2}-3y = 432 t^{6} - 18 t^{2}.
Para o segundo parêntese:
2x^{3}y-3x = 2\cdot(8t^{3})\cdot(6t^{2}) - 3\cdot(2t).
Calcule os produtos:
2\cdot8\cdot6 = 96,
então
2x^{3}y-3x = 96 t^{5} - 6 t.

Passo 7

Agora multiplique pelos fatores externos e some:
Primeira parcela (multiplicando por 2):
2\big(432 t^{6} - 18 t^{2}\big) = 864 t^{6} - 36 t^{2}.
Segunda parcela (multiplicando por 12t):
12t\big(96 t^{5} - 6 t\big) = 1152 t^{6} - 72 t^{2}.
Somando as duas parcelas:
\frac{d z}{d t} = (864 t^{6} - 36 t^{2}) + (1152 t^{6} - 72 t^{2}).
Agrupando termos semelhantes:
\frac{d z}{d t} = (864+1152) t^{6} - (36+72) t^{2} = 2016 t^{6} - 108 t^{2}.

Passo 8

Podemos também fatorar um fator comum para deixar mais elegante. Há um fator comum 36 t^{2}:
2016 t^{6} - 108 t^{2} = 36 t^{2}\big(56 t^{4} - 3\big).

Resposta

\dfrac{d z}{d t} = 2016 t^{6} - 108 t^{2} = 36 t^{2}\big(56 t^{4} - 3\big)

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