Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
, se
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função
é dada por . - As variáveis
e são funções de : e .
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Ideia que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis, explicada de um jeito bem prático):
Se depende de
e
, e
e
dependem de
, então a variação de
em relação a
vem das variações de
e de
. A fórmula é
Se
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a , isto é, a derivada tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
e são as derivadas das funções e .
Além disso, ao calcular as derivadas parciais vamos precisar das regras básicas:
- Regra da potência:
. - Regra do produto:
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
A função é .
A função é
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Na primeira parcela
é constante, então
Na segunda parcela
é constante, então
Portanto
Agora derivando em relação a
(tratando
como constante):
Na primeira parcela
é constante, então
Na segunda parcela
é constante, então
Portanto
Passo 4
Calcular
e
a partir de
e
:
Passo 5
Aplicar a fórmula da regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora vamos substituir
e
. Primeiro calcule potências que aparecem:
Calcule cada parenteses separadamente.
Para o primeiro parêntese:
Para o primeiro parêntese:
Calcule os produtos:
então
Para o segundo parêntese:
Calcule os produtos:
então
Passo 7
Agora multiplique pelos fatores externos e some:
Primeira parcela (multiplicando por ):
Primeira parcela (multiplicando por
Segunda parcela (multiplicando por
):
Somando as duas parcelas:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Podemos também fatorar um fator comum para deixar mais elegante. Há um fator comum
: