Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
\frac{d w}{d \theta} se w=\sqrt{u^{2}-v^{2}}, \quad u=\operatorname{sen} \theta, v=\cos \theta.

Passo 1

O enunciado dá as relações
w=\sqrt{u^{2}-v^{2}},\qquad u=\sin\theta,\qquad v=\cos\theta,
e pede para encontrar a derivada \dfrac{d w}{d \theta}.
Informações relevantes fornecidas:
  • w é uma função composta: primeiro calcula-se u^{2}-v^{2} e depois a raiz quadrada.
  • u e v são funções explícitas de \theta: u(\theta)=\sin\theta e v(\theta)=\cos\theta.
  • A expressão dentro da raiz deve ser não-negativa para w estar definida: \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta\ge0. (Isso indica o domínio onde a fórmula valeria sem problemas de número complexo.)
O que precisamos achar: a expressão analítica de \dfrac{d w}{d \theta} em termos de \theta.

Passo 2

Revisão rápida da regra da cadeia (com jeitinho de amigo): se tens uma composição w=f(z) com z=g(\theta), então
\frac{dw}{d\theta}=f'(z)\cdot\frac{dz}{d\theta},
ou seja, deriva-se a função externa em relação à variável interna e multiplica-se pela derivada da variável interna. No nosso caso a função externa é a raiz quadrada e a interna é z=u^{2}-v^{2}.
Também usamos a derivada da raiz: se f(z)=\sqrt{z}=z^{1/2}, então
f'(z)=\frac{1}{2}z^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Portanto, aplicando a regra da cadeia uma vez, temos
\frac{dw}{d\theta}=\frac{1}{2\sqrt{u^{2}-v^{2}}}\cdot\frac{d}{d\theta}\big(u^{2}-v^{2}\big).

Passo 3

Agora vamos derivar a parte interna z(\theta)=u^{2}-v^{2}. Para isso usamos a regra da cadeia novamente (ou a regra do produto, que dá o mesmo resultado aqui): a derivada de u^{2} em relação a \theta é 2u\cdot \dfrac{du}{d\theta}, e a de -v^{2} é -2v\cdot \dfrac{dv}{d\theta}. Assim
\frac{d}{d\theta}\big(u^{2}-v^{2}\big)=2u\frac{du}{d\theta}-2v\frac{dv}{d\theta}.
Substituindo isso na expressão do passo anterior:
\frac{dw}{d\theta}=\frac{1}{2\sqrt{u^{2}-v^{2}}}\big(2u\frac{du}{d\theta}-2v\frac{dv}{d\theta}\big).

Passo 4

Simplifique a expressão cancelando o fator 2:
\frac{dw}{d\theta}=\frac{u\frac{du}{d\theta}-v\frac{dv}{d\theta}}{\sqrt{u^{2}-v^{2}}}.
Agora precisamos das derivadas de u e v em relação a \theta. Como u(\theta)=\sin\theta e v(\theta)=\cos\theta, sabemos (lembrando a derivada de seno e cosseno):
\frac{du}{d\theta}=\cos\theta,\qquad \frac{dv}{d\theta}=-\sin\theta.

Passo 5

Substituindo \dfrac{du}{d\theta} e \dfrac{dv}{d\theta} na fórmula:
\frac{dw}{d\theta}=\frac{u\cos\theta - v(-\sin\theta)}{\sqrt{u^{2}-v^{2}}} =\frac{u\cos\theta + v\sin\theta}{\sqrt{u^{2}-v^{2}}}.
Agora substitui u=\sin\theta e v=\cos\theta:
\frac{dw}{d\theta}=\frac{\sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta}{\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}} =\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}.
Uma forma trigonométrica mais compacta usa a identidade \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, então
\frac{dw}{d\theta}=\frac{\sin 2\theta}{\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}.
Lembrete final: essa fórmula só é válida quando \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta>0 (ou \ge0 com cuidado sobre divisão por zero), porque a expressão original define w real apenas nesse domínio.

Passo 6

Pequeno check e motivação de prova: a sequência de aplicações da regra da cadeia foi
  1. derivar a raiz: \dfrac{1}{2\sqrt{\cdot}},
  2. derivar u^{2}-v^{2} como 2u u' - 2v v',
  3. substituir u',v' e então u,v.
    Esse é exatamente o tipo de procedimento que cai em prova: identificar a função externa, derivá-la, multiplicar pela derivada da função interna, e repetir para composições aninhadas.

Resposta

\dfrac{d w}{d \theta}=\dfrac{\sin 2\theta}{\sqrt{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}.

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