Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
se
.
Passo 1
O enunciado dá as relações
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma função composta: primeiro calcula-se e depois a raiz quadrada. -
e são funções explícitas de : e . - A expressão dentro da raiz deve ser não-negativa para
estar definida: . (Isso indica o domínio onde a fórmula valeria sem problemas de número complexo.)
O que precisamos achar: a expressão analítica de
em termos de
.
Passo 2
Revisão rápida da regra da cadeia (com jeitinho de amigo): se tens uma composição
com
, então
ou seja, deriva-se a função externa em relação à variável interna e multiplica-se pela derivada da variável interna. No nosso caso a função externa é a raiz quadrada e a interna é
.
Também usamos a derivada da raiz: se
, então
Portanto, aplicando a regra da cadeia uma vez, temos
Passo 3
Agora vamos derivar a parte interna
. Para isso usamos a regra da cadeia novamente (ou a regra do produto, que dá o mesmo resultado aqui): a derivada de
em relação a
é
, e a de
é
. Assim
Substituindo isso na expressão do passo anterior:
Passo 4
Simplifique a expressão cancelando o fator
:
Agora precisamos das derivadas de
e
em relação a
. Como
e
, sabemos (lembrando a derivada de seno e cosseno):
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula:
Agora substitui
e
:
Uma forma trigonométrica mais compacta usa a identidade
, então
Lembrete final: essa fórmula só é válida quando
(ou
com cuidado sobre divisão por zero), porque a expressão original define
real apenas nesse domínio.
Passo 6
Pequeno check e motivação de prova: a sequência de aplicações da regra da cadeia foi
- derivar a raiz:
, - derivar
como , - substituir
e então .
Esse é exatamente o tipo de procedimento que cai em prova: identificar a função externa, derivá-la, multiplicar pela derivada da função interna, e repetir para composições aninhadas.