Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado w=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, x=p^{2}-q t, y=t q, z=p^{2}+t. Encontre \frac{\partial w}{\partial p} \mathrm{e} \frac{\partial w}{\partial t}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas derivadas parciais:
  • Dada w=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • As variáveis internas são x=p^{2}-q t, y=t q e z=p^{2}+t.
  • Pedidos: calcular \dfrac{\partial w}{\partial p} e \dfrac{\partial w}{\partial t}.
Essas são exatamente as quantidades que vamos encontrar, expressas em termos de p,q,t (ou em termos de x,y,z quando for conveniente).

Passo 2

Vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A ideia principal é: se w=f(x,y,z) e x,y,z dependem de p,q,t, então, por exemplo,
\frac{\partial w}{\partial p}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial p}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial p}.
Aqui \dfrac{\partial w}{\partial x} significa “derivar w tratando y,z como constantes”, e \dfrac{\partial x}{\partial p} é a derivada de x em relação a p tratando q,t como constantes. Mesma ideia para \dfrac{\partial w}{\partial t}:
\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}.

Passo 3

Primeiro calculemos as derivadas parciais de w em relação a x,y,z. Definimos a soma interna
S=x^{2}+y^{2}+z^{2},
logo w=e^{S}. A derivada de uma exponencial composta é a exponencial vezes a derivada do expoente. Assim,
\frac{\partial w}{\partial x}=e^{S}\cdot\frac{\partial S}{\partial x}=e^{S}\cdot 2x=2x e^{S},
\frac{\partial w}{\partial y}=2y e^{S},\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=2z e^{S}.
É útil notar que e^{S}=w, então também podemos escrever \dfrac{\partial w}{\partial x}=2xw, etc.

Passo 4

Agora calculemos as derivadas parciais de x,y,z em relação a p. Lembrando que q e t são tratados como constantes quando derivamos em relação a p:
x=p^{2}-q t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial p}=2p,
y=t q \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial p}=0,
z=p^{2}+t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial p}=2p.
Expliquei: \dfrac{d}{dp}p^{2}=2p; termos com q,t são constantes em relação a p.

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial p}:
\frac{\partial w}{\partial p}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial p}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial p}.
Substituindo as derivadas encontradas:
\frac{\partial w}{\partial p}=(2x e^{S})(2p)+(2y e^{S})(0)+(2z e^{S})(2p).
Quem fica é:
\frac{\partial w}{\partial p}=4p e^{S}(x+z).
Agora substituímos x e z por suas expressões em p,q,t e também S pelo seu valor:
x+z=(p^{2}-q t)+(p^{2}+t)=2p^{2}+t(1-q),
S=(p^{2}-q t)^{2}+(t q)^{2}+(p^{2}+t)^{2}.
Portanto uma forma totalmente em p,q,t é
\frac{\partial w}{\partial p}=4p\bigl(2p^{2}+t(1-q)\bigr)\,e^{(p^{2}-q t)^{2}+(t q)^{2}+(p^{2}+t)^{2}}.

Passo 6

Agora calculamos as derivadas parciais de x,y,z em relação a t. Aqui p e q são constantes:
x=p^{2}-q t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial t}=-q,
y=t q \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial t}=q,
z=p^{2}+t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial t}=1.

Passo 7

Aplicando a Regra da Cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial t}:
\frac{\partial w}{\partial t}=(2x e^{S})(-q)+(2y e^{S})(q)+(2z e^{S})(1).
Colocando e^{S} em evidência:
\frac{\partial w}{\partial t}=2e^{S}\bigl(-q x+q y+z\bigr)=2e^{S}\bigl(q(y-x)+z\bigr).
Substituímos x,y,z por x=p^{2}-q t, y=t q, z=p^{2}+t. Primeiro calculemos y-x:
y-x=t q-(p^{2}-q t)=2q t-p^{2}.
Então
q(y-x)=q(2q t-p^{2})=2q^{2}t-p^{2}q,
e somando z=p^{2}+t obtemos
q(y-x)+z=2q^{2}t-p^{2}q+p^{2}+t.
Logo a forma totalmente em p,q,t é
\frac{\partial w}{\partial t}=2\bigl(2q^{2}t-p^{2}q+p^{2}+t\bigr)\,e^{(p^{2}-q t)^{2}+(t q)^{2}+(p^{2}+t)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial p}=4p\bigl(2p^{2}+t(1-q)\bigr)\,e^{(p^{2}-q t)^{2}+(t q)^{2}+(p^{2}+t)^{2}}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}=2\bigl(2q^{2}t-p^{2}q+p^{2}+t\bigr)\,e^{(p^{2}-q t)^{2}+(t q)^{2}+(p^{2}+t)^{2}}

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