Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado
. Encontre
.
Dado
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas derivadas parciais:
- Dada
. - As variáveis internas são
, e . - Pedidos: calcular
e .
Essas são exatamente as quantidades que vamos encontrar, expressas em termos de
(ou em termos de
quando for conveniente).
Passo 2
Vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A ideia principal é: se
e
dependem de
, então, por exemplo,
Aqui
significa “derivar
tratando
como constantes”, e
é a derivada de
em relação a
tratando
como constantes. Mesma ideia para
:
Passo 3
Primeiro calculemos as derivadas parciais de
em relação a
. Definimos a soma interna
logo
. A derivada de uma exponencial composta é a exponencial vezes a derivada do expoente. Assim,
É útil notar que
, então também podemos escrever
, etc.
Passo 4
Agora calculemos as derivadas parciais de
em relação a
. Lembrando que
e
são tratados como constantes quando derivamos em relação a
:
Expliquei:
; termos com
são constantes em relação a
.
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia para
:
Substituindo as derivadas encontradas:
Quem fica é:
Agora substituímos
e
por suas expressões em
e também
pelo seu valor:
Portanto uma forma totalmente em
é
Passo 6
Agora calculamos as derivadas parciais de
em relação a
. Aqui
e
são constantes:
Passo 7
Aplicando a Regra da Cadeia para
:
Colocando
em evidência:
Substituímos
por
,
,
. Primeiro calculemos
:
Então
e somando
obtemos
Logo a forma totalmente em
é