Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado w=y^{2}+4 x^{2}-z, x=u^{2}-v^{2}, y=3 u v, z=2 u-v. Encontre \frac{\partial w}{\partial u} \mathrm{e} \frac{\partial w}{\partial v}.

Passo 1

O enunciado dá as expressões
w=y^{2}+4x^{2}-z,\qquad x=u^{2}-v^{2},\qquad y=3uv,\qquad z=2u-v
e pede para encontrar \displaystyle\frac{\partial w}{\partial u} e \displaystyle\frac{\partial w}{\partial v}.
Informações relevantes: as variáveis x,y,z dependem de u,v; queremos derivadas parciais de w em relação a u e v.

Passo 2

Vamos usar a Regra da Cadeia para funções compostas de várias variáveis. A ideia é: quando w depende de x,y,z e estas dependem de u,v, a derivada parcial de w em relação a u é a soma das contribuições por cada caminho u\to x, u\to y, u\to z. Formalmente,
\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u},
e de forma análoga
\frac{\partial w}{\partial v}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v}.
Explicação rápida: \partial w/\partial x mede quanto w muda se x muda (mantendo y,z fixos); \partial x/\partial u mede quanto x muda quando u muda; multiplicando e somando obtemos a variação total de w quando u muda.

Passo 3

Calculemos primeiro as derivadas parciais de w em relação a x,y,z. Usamos a regra da potência: a derivada de x^2 em relação a x é 2x.
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}\bigr)=8x,
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}\bigr)=2y,
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{d}{dz}\bigl(-z\bigr)=-1.
Aqui cada derivada foi obtida tratando as outras variáveis como constantes (definição de derivada parcial).

Passo 4

Agora as derivadas parciais de x,y,z em relação a u e v. Usamos derivada de potência e derivada de produto simples.
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{d}{du}(u^{2}-v^{2})=2u,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{d}{dv}(u^{2}-v^{2})=-2v,
\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{d}{du}(3uv)=3v,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=\frac{d}{dv}(3uv)=3u,
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{d}{du}(2u-v)=2,\qquad \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{d}{dv}(2u-v)=-1.
Notas: em \frac{d}{du}(3uv) tratamos v como constante, então fica 3v; em \frac{d}{dv}(3uv) tratamos u como constante, ficando 3u.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da Regra da Cadeia para \partial w/\partial u:
\frac{\partial w}{\partial u}=(8x)(2u)+(2y)(3v)+(-1)(2).
Substituímos x e y por suas expressões em u,v: x=u^{2}-v^{2} e y=3uv. Calculando passo a passo:
(8x)(2u)=16u\cdot x=16u(u^{2}-v^{2})=16u^{3}-16u v^{2},
(2y)(3v)=6y v=6(3uv)v=18u v^{2},
e a última contribuição é (-1)(2)=-2. Somando:
\frac{\partial w}{\partial u}=16u^{3}-16u v^{2}+18u v^{2}-2=16u^{3}+2u v^{2}-2.

Passo 6

Agora \partial w/\partial v pela Regra da Cadeia:
\frac{\partial w}{\partial v}=(8x)(-2v)+(2y)(3u)+(-1)(-1).
Substituindo x=u^{2}-v^{2} e y=3uv e calculando:
(8x)(-2v)=-16v\cdot x=-16v(u^{2}-v^{2})=-16u^{2}v+16v^{3},
(2y)(3u)=6y u=6(3uv)u=18u^{2}v,
e a última contribuição é (-1)(-1)=1. Somando:
\frac{\partial w}{\partial v}=-16u^{2}v+16v^{3}+18u^{2}v+1=2u^{2}v+16v^{3}+1.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}=16u^{3}+2u v^{2}-2
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}=2u^{2}v+16v^{3}+1

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