Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado
. Encontre
.
Dado
Passo 1
O enunciado dá as expressões
e pede para encontrar
e
.
Informações relevantes: as variáveis dependem de
; queremos derivadas parciais de
em relação a
e
.
Informações relevantes: as variáveis
Passo 2
Vamos usar a Regra da Cadeia para funções compostas de várias variáveis. A ideia é: quando
depende de
e estas dependem de
, a derivada parcial de
em relação a
é a soma das contribuições por cada caminho
,
,
. Formalmente,
e de forma análoga
Explicação rápida:
mede quanto
muda se
muda (mantendo
fixos);
mede quanto
muda quando
muda; multiplicando e somando obtemos a variação total de
quando
muda.
Passo 3
Calculemos primeiro as derivadas parciais de
em relação a
. Usamos a regra da potência: a derivada de
em relação a
é
.
Aqui cada derivada foi obtida tratando as outras variáveis como constantes (definição de derivada parcial).
Passo 4
Agora as derivadas parciais de
em relação a
e
. Usamos derivada de potência e derivada de produto simples.
Notas: em
tratamos
como constante, então fica
; em
tratamos
como constante, ficando
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da Regra da Cadeia para
:
Substituímos
e
por suas expressões em
:
e
. Calculando passo a passo:
e a última contribuição é
. Somando:
Passo 6
Agora
pela Regra da Cadeia:
Substituindo
e
e calculando:
e a última contribuição é
. Somando: