Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado z=e^{\cos (6 y)}, y=2 x^{3}. Encontre \frac{d z}{d x}.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede):
Temos z = e^{\cos(6y)} e y = 2x^{3}. O pedido é encontrar \frac{dz}{dx}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão para z em termos de y: z = e^{\cos(6y)}.
  • A expressão para y em termos de x: y = 2x^{3}.
  • Queremos a derivada de z em relação a x: \frac{dz}{dx}.

Passo 2

Intuição e regra que vamos usar (Regra da Cadeia):
Quando uma função é composta — por exemplo \displaystyle z=f(g(x)) — a derivada é dada por
\frac{dz}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Isto significa: deriva a função externa avaliando-a na interna e multiplica pela derivada da função interna.
Exemplo simples: se z=e^{u(x)}, então \displaystyle\frac{dz}{dx}=e^{u(x)}\cdot u'(x) porque a derivada de e^u em relação a u é e^u.

Passo 3

Identificar as camadas de composição nesta função:
Escrevemos as camadas explícitas para aplicar a Regra da Cadeia claramente:
\begin{aligned} z &= e^{u},\quad\text{onde } u=\cos(v),\\\ v &= 6y,\\\ y &= 2x^{3}. \end{aligned}
Portanto podemos escrever a derivada como produto das derivadas de cada camada:
\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.
Aqui cada fração indica a derivada da camada mais externa em relação à próxima camada interna.

Passo 4

Calcular \displaystyle\frac{dy}{dx} (regra do poder):
Temos y=2x^{3}. Pela regra do poder e da constante,
\frac{dy}{dx}=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
Explicando: a derivada de x^{3} é 3x^{2} e multiplicamos pela constante 2.

Passo 5

Calcular \displaystyle\frac{dv}{dy} (derivada de uma função linear):
Temos v=6y. A derivada de 6y em relação a y é
\frac{dv}{dy}=6.
Porque a derivada de ay é a.

Passo 6

Calcular \displaystyle\frac{du}{dv} e \displaystyle\frac{dz}{du} (derivadas de cosseno e exponencial):
Para u=\cos(v), a derivada é
\frac{du}{dv}=-\sin(v).
Explicando: a derivada de \cos é -\sin.
Para z=e^{u}, a derivada é
\frac{dz}{du}=e^{u}.
Explicando: a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u} de novo.

Passo 7

Multiplicar todas as derivadas (aplicando a Regra da Cadeia) e substituir as camadas:
Juntando tudo,
\frac{dz}{dx}=e^{u}\cdot\bigl(-\sin(v)\bigr)\cdot 6\cdot 6x^{2}.
Agora substituímos u=\cos(v) e v=6y:
\frac{dz}{dx}=-36\,x^{2}\,e^{\cos(6y)}\sin(6y).
Finalmente substituímos y=2x^{3} (porque queremos derivada em função de x apenas). Como 6y=6\cdot(2x^{3})=12x^{3}, obtemos
\frac{dz}{dx}=-36\,x^{2}\,e^{\cos(12x^{3})}\sin(12x^{3}).

Resposta

\frac{dz}{dx}=-36x^{2}e^{\cos(12x^{3})}\sin(12x^{3})

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