Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado
. Encontre
.
Dado
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede):
Temos e
. O pedido é encontrar
.
Informações relevantes dadas:
Temos
Informações relevantes dadas:
- A expressão para
em termos de : . - A expressão para
em termos de : . - Queremos a derivada de
em relação a : .
Passo 2
Intuição e regra que vamos usar (Regra da Cadeia):
Quando uma função é composta — por exemplo — a derivada é dada por
Quando uma função é composta — por exemplo
Isto significa: deriva a função externa avaliando-a na interna e multiplica pela derivada da função interna.
Exemplo simples: se , então
porque a derivada de
em relação a
é
.
Exemplo simples: se
Passo 3
Identificar as camadas de composição nesta função:
Escrevemos as camadas explícitas para aplicar a Regra da Cadeia claramente:
Escrevemos as camadas explícitas para aplicar a Regra da Cadeia claramente:
Portanto podemos escrever a derivada como produto das derivadas de cada camada:
Aqui cada fração indica a derivada da camada mais externa em relação à próxima camada interna.
Passo 4
Calcular
(regra do poder):
Temos . Pela regra do poder e da constante,
Temos
Explicando: a derivada de
é
e multiplicamos pela constante
.
Passo 5
Calcular
(derivada de uma função linear):
Temos . A derivada de
em relação a
é
Temos
Porque a derivada de
é
.
Passo 6
Calcular
e
(derivadas de cosseno e exponencial):
Para , a derivada é
Para
Explicando: a derivada de
é
.
Para , a derivada é
Para
Explicando: a derivada de
em relação a
é
de novo.
Passo 7
Multiplicar todas as derivadas (aplicando a Regra da Cadeia) e substituir as camadas:
Juntando tudo,
Juntando tudo,
Agora substituímos
e
:
Finalmente substituímos
(porque queremos derivada em função de
apenas). Como
, obtemos