Entenda a composição de funções envolvida: y gera x por x=\sin(y); x gera um valor intermediário por \tan(x); e esse valor entra no exponencial. Em cadeia:
y \xrightarrow{\;\sin\;} x \xrightarrow{\;\tan\;} u \xrightarrow{\;e^{(\cdot)}\;} z.
É uma composição de três funções — vamos usar a Regra da Cadeia para multiplicar as derivadas em cada elo da cadeia.
Passo 3
A Regra da Cadeia (no caso de três funções) diz o seguinte: se z=f(u), u=g(x) e x=h(y), então
\frac{dz}{dy}=f'(u)\cdot g'(x)\cdot h'(y).
Aqui vamos identificar: f(u)=e^{u} com u=\tan(x); g(x)=\tan(x); h(y)=\sin(y).
Passo 4
Derivada da função externa: para f(u)=e^{u} temos
f'(u)=e^{u}.
Substituindo u=\tan(x) obtemos a contribuição do primeiro elo:
f'(\tan(x))=e^{\tan(x)}.
Passo 5
Derivada do meio: para g(x)=\tan(x) a derivada é conhecida:
Obs.: \operatorname{sec}^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}. Estou escrevendo \operatorname{sec} porque é a forma curta de 1/\cos, mas você pode usar a versão com \cos se preferir.
Passo 6
Derivada do último elo (a partir de y para x): para h(y)=\sin(y),