Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado z=e^{\tan (x)}, x=\operatorname{sen}(y). Encontre \frac{d z}{d y}.

Passo 1

Temos as informações do enunciado e o que é pedido:
  • Dado z=e^{\tan(x)}.
  • Dado x=\operatorname{sen}(y) (ou seja, x=\sin(y)).
  • Pedido: encontrar \dfrac{dz}{dy}.

Passo 2

Entenda a composição de funções envolvida: y gera x por x=\sin(y); x gera um valor intermediário por \tan(x); e esse valor entra no exponencial. Em cadeia:
y \xrightarrow{\;\sin\;} x \xrightarrow{\;\tan\;} u \xrightarrow{\;e^{(\cdot)}\;} z.
É uma composição de três funções — vamos usar a Regra da Cadeia para multiplicar as derivadas em cada elo da cadeia.

Passo 3

A Regra da Cadeia (no caso de três funções) diz o seguinte: se z=f(u), u=g(x) e x=h(y), então
\frac{dz}{dy}=f'(u)\cdot g'(x)\cdot h'(y).
Aqui vamos identificar: f(u)=e^{u} com u=\tan(x); g(x)=\tan(x); h(y)=\sin(y).

Passo 4

Derivada da função externa: para f(u)=e^{u} temos
f'(u)=e^{u}.
Substituindo u=\tan(x) obtemos a contribuição do primeiro elo:
f'(\tan(x))=e^{\tan(x)}.

Passo 5

Derivada do meio: para g(x)=\tan(x) a derivada é conhecida:
g'(x)=\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).
Obs.: \operatorname{sec}^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}. Estou escrevendo \operatorname{sec} porque é a forma curta de 1/\cos, mas você pode usar a versão com \cos se preferir.

Passo 6

Derivada do último elo (a partir de y para x): para h(y)=\sin(y),
h'(y)=\frac{d}{dy}\sin(y)=\cos(y).

Passo 7

Agora multiplicamos conforme a Regra da Cadeia:
\frac{dz}{dy}=e^{\tan(x)}\cdot \operatorname{sec}^{2}(x)\cdot \cos(y).
Finalmente substituímos x=\sin(y) para escrever tudo em função de y:
\frac{dz}{dy}=e^{\tan(\sin(y))}\cdot \operatorname{sec}^{2}(\sin(y))\cdot \cos(y).
Se quiser, pode reescrever \operatorname{sec}^{2}(\sin(y)) como \dfrac{1}{\cos^{2}(\sin(y))}, ficando
\frac{dz}{dy}=e^{\tan(\sin(y))}\cdot \frac{\cos(y)}{\cos^{2}(\sin(y))}.

Passo 8

Cheque rápido (confirmação): em y=0 temos \sin(0)=0, \tan(0)=0, então z(0)=e^{0}=1 e
\frac{dz}{dy}\Big|_{y=0}=e^{0}\cdot \operatorname{sec}^{2}(0)\cdot \cos(0)=1\cdot 1\cdot 1=1,
o que bate com a fórmula acima.

Resposta

\dfrac{dz}{dy}=e^{\tan(\sin(y))}\,\operatorname{sec}^{2}(\sin(y))\,\cos(y)

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