Use a regra da cadeia para encontrar \frac{d y}{d x} :
\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^{2} t \\\ y=b \operatorname{sen}^{2} t\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado dá as funções paramétricas
x = a \cos^2 t
y = b \sin^2 t
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}. Para isso usamos a regra da cadeia em parametrizações, ou seja,
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{dx}{dt}. Como x = a \cos^2 t, temos
\frac{dx}{dt} = a \cdot 2\cos t \cdot (-\sin t) = -2a \sin t \cos t = -a \sin(2t).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{dy}{dt}. Como y = b \sin^2 t, temos
\frac{dy}{dt} = b \cdot 2\sin t \cdot \cos t = 2b \sin t \cos t = b \sin(2t).

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}} = \frac{b \sin(2t)}{-a \sin(2t)} = -\frac{b}{a},
desde que \sin(2t)\neq 0.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}.

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