Use a regra da cadeia e encontre \dot{y} e \ddot{y} em termos de x, \dot{x} e \ddot{x} se:
y=4 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função y em termos de x, onde x é função do tempo t:
y = 4\,x^2.
O objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de y em relação a t, ou seja \dot{y}, e a segunda derivada \ddot{y}, expressas em termos de x, \dot{x} e \ddot{x}.

Passo 2

Para obter \dot{y}, escrevemos y(t)=4\bigl(x(t)\bigr)^2 e aplicamos a regra da cadeia:
\dot{y} \;=\;\frac{d}{dt}\bigl[4\,x^2\bigr] \;=\;4\;\cdot\;2\,x\;\cdot\;\dot{x} \;=\;8\,x\,\dot{x}.

Passo 3

Para encontrar \ddot{y}, derivamos \dot{y}=8\,x\,\dot{x} novamente em relação a t, usando a regra do produto:
\ddot{y} =\frac{d}{dt}\bigl[8\,x\,\dot{x}\bigr] =8\Bigl(\dot{x}\,\dot{x} + x\,\ddot{x}\Bigr) =8\bigl(\dot{x}^2 + x\,\ddot{x}\bigr).

Resposta

\dot{y} = 8\,x\,\dot{x}, \qquad \ddot{y} = 8\bigl(\dot{x}^2 + x\,\ddot{x}\bigr).

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