Use a Regra da Cadeia paraa achar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=x^2-y^2, x=s^2+t^2, y=1-2 s t

Passo 1

O enunciado dá a função z = x^2 - y^2 em que x e y dependem de (s,t) via
x = s^2 + t^2, y = 1 - 2,s,t
O conteúdo é a Regra da Cadeia para derivadas parciais: vamos precisar de partial z/partial x, partial z/partial y, partial x/partial s, partial x/partial t, partial y/partial s e partial y/partial t.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como z = x^2 - y^2, temos
partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = -2y

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s e t:
partial xpartial s = 2s, partial xpartial t = 2t, partial ypartial s = -2t, partial ypartial t = -2s

Passo 4

Aplicar a Regra da Cadeia:
partial zpartial s = partial zpartial x,partial xpartial s + partial zpartial y,partial ypartial s = (2x)(2s) + (-2y)(-2t) = 4,s,x + 4,t,y,
partial zpartial t = partial zpartial x,partial xpartial t + partial zpartial y,partial ypartial t = (2x)(2t) + (-2y)(-2s) = 4,t,x + 4,s,y

Passo 5

Substituir x = s^2+t^2 e y = 1 - 2,s,t e simplificar:
partial zpartial s = 4,s,(s^2+t^2) + 4,t,(1-2,s,t) = 4,s^3 +4,s,t^2 +4,t -8,s,t^2 = 4,s^3 -4,s,t^2 +4,t,
partial zpartial t = 4,t,(s^2+t^2) + 4,s,(1-2,s,t) = 4,s^2t +4,t^3 +4,s -8,s^2t = -4,s^2t +4,t^3 +4,s

Resposta

partial zpartial s = 4,s^3 -4,s,t^2 +4,t, partial zpartial t = -4,s^2,t +4,t^3 +4,s

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