Use a Regra da Cadeia paraa achar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=sen(theta) cos (phi), theta=s t^2, phi=s^2 t

Passo 1

O enunciado define
z = sin(theta),cos(phi),
com as variáveis intermediárias
theta = s,t^2 e phi = s^2,t.
O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis, que nos diz como derivar z(s,t) passando pelas dependências de theta e phi.

Passo 2

Pela regra da cadeia temos
partial zpartial s = partial zpartial theta,partial thetapartial s + partial zpartial phi,partial phipartial s,
partial zpartial t = partial zpartial theta,partial thetapartial t + partial zpartial phi,partial phipartial t

Passo 3

Calculamos as derivadas de z em relação a theta e phi:
partial zpartial theta = ddthetal[sin(theta)r],cos(phi) = cos(theta),cos(phi),
partial zpartial phi = sin(theta),ddphil[cos(phi)r] = -sin(theta),sin(phi)

Passo 4

Agora derivamos theta e phi em relação a s:
partial thetapartial s = partialpartial sl[s,t^2r] = t^2,
partial phipartial s = partialpartial sl[s^2,tr] = 2,s,t

Passo 5

Substituindo em partial z/partial s:
partial zpartial s = l[cos(theta)cos(phi)r],t^2 + l[-sin(theta)sin(phi)r],(2,s,t)
boxedpartial zpartial s = t^2cos(theta)cos(phi) -2,s,t,sin(theta)sin(phi)

Passo 6

Derivamos theta e phi em relação a t:
partial thetapartial t = partialpartial tl[s,t^2r] = 2,s,t,
partial phipartial t = partialpartial tl[s^2,tr] = s^2

Passo 7

Substituindo em partial z/partial t:
partial zpartial t = l[cos(theta)cos(phi)r],(2,s,t) + l[-sin(theta)sin(phi)r],s^2
boxedpartial zpartial t = 2,s,t,cos(theta)cos(phi) - s^2,sin(theta)sin(phi)

Resposta

Substituindo de volta theta = s,t^2 e phi = s^2,t, temos
partial zpartial s = t^2cos(s,t^2)cos(s^2t) - 2,s,t,sin(s,t^2)sin(s^2t),
partial zpartial t = 2,s,t,cos(s,t^2)cos(s^2t) - s^2,sin(s,t^2)sin(s^2t)

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