Exercício 32. (a) Quais as indeterminações que você pode tentar manipular e depois usar a regra de L’Hôpital para resolver o limite?
(b) Em quais indeterminações se pode aplicar a regra de L’Hôpital diretamente sem nenhuma manipulação anterior na função.
(c) A regra de L’Hôpital pode ser usada para calcular \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)} ?
(d) De um exemplo de resolução utilizando L’Hôpital para cada uma das indeterminações do item (a)
Passo 1
O enunciado trata da aplicação da regra de L’Hôpital em limites e pede:
(a) quais indeterminações podemos manipular e depois usar L’Hôpital;
(b) quais indeterminações aceitam L’Hôpital direto;
(c) se dá para usar L’Hôpital em \lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{\sin(x)};
(d) um exemplo de cálculo por L’Hôpital para cada indeterminação de (a).
Passo 2
As indeterminações que não são \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty} mas podem ser convertidas a uma dessas para usar L’Hôpital são:
– 0\cdot\infty (ex.: x\ln x em x\to0^+),
– \infty - \infty (ex.: \tfrac1x-\tfrac1{\sin x} em x\to0),
– 1^{\infty} (ex.: (1+\tfrac1x)^x em x\to\infty),
– 0^0 (ex.: x^x em x\to0^+),
– \infty^0 (ex.: x^{1/x} em x\to\infty).
Passo 3
As indeterminações em que se pode aplicar L’Hôpital direto, sem reescrever nada, são somente
Em \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{\sin(x)} o numerador vai a \cos(0)=1 e o denominador a \sin(0)=0. Logo não é \tfrac{0}{0} nem \tfrac{\infty}{\infty}, mas \tfrac{1}{0}, e a regra de L’Hôpital não se aplica.
que já vimos em (Passo 5) dá 0. Logo \ln y\to0 e y\to1.
Passo 9
Exemplo \infty^0:
\lim_{x\to\infty}x^{1/x}.
Seja y=x^{1/x}. Então
\ln y = \tfrac1x\ln x,
forma \tfrac{\infty}{\infty} invertida (\infty\cdot0). Reescreva
\frac{\ln x}{x},
aplique L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =0,
logo \ln y\to0 e y\to1.
Resposta
(a) As indeterminações que precisam de manipulação são \,0\cdot\infty,\;\infty-\infty,\;1^{\infty},\;0^0,\;\infty^0.
(b) A regra se aplica direto apenas em \tfrac{0}{0} e \tfrac{\infty}{\infty}.
(c) Em \displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\cos(x)}{\sin(x)} surge \tfrac{1}{0}, não indeterminação, logo não se usa L’Hôpital.
(d) Exemplos dados nos Passos 5 a 9 para cada caso de (a).