Use a regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x (pi2)^+(tan (x))^cos (x).

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limx to l(tfracpi2r)^+ l(tan(x)r)^cos(x),
usando a regra de L’Hôpital. Como a expressão é uma base que tende a -infty e um expoente que tende a 0, faremos a transformação por logaritmo para tirar o expoente.

Passo 2

Definimos
L = limx to l(tfracpi2r)^+ l(tan(x)r)^cos(x)
Supondo que o limite exista e seja positivo em módulo, escrevemos
ln L = limx to l(tfracpi2r)^+ cos(x),lnl|tan(x)r|

Passo 3

O termo cos(x),ln|tan(x)| é do tipo 0cdot(+infty). Para aplicar L’Hôpital, reescrevemos como quociente
cos(x),lnl|tan(x)r| = lnl|tan(x)r|tfrac1cos(x)
Agora temos uma indeterminação tfrac+infty+infty.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
– Numerador:
ddxl[lnl|tan(x)r|r] = sec^2(x)tan(x)
– Denominador:
ddxl[tfrac1cos(x)r] = ddxl[sec(x)r] = sec(x),tan(x)

Passo 5

O limite da razão das derivadas é
limx to (tfracpi2)^+ tfracsec^2(x)tan(x)sec(x),tan(x) = limx to (tfracpi2)^+ sec^2(x)tan(x),sec(x),tan(x) = limx to (tfracpi2)^+ sec(x)tan^2(x)
Como sec(x)=1/cos(x)topminfty mas tan^2(x)=sin^2(x)/cos^2(x)to+infty de ordem maior, fica
sec(x)tan^2(x) = 1/cos(x)sin^2(x)/cos^2(x) = cos(x)sin^2(x) ;xrightarrow[xto(pi/2)^+];0
Logo ln L = 0.

Passo 6

Como ln L = 0, temos L = e^0 = 1. Portanto o limite original vale 1.

Resposta

1

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