Use a regra de L’Hôpital para encontrar os limites:
(1,25 \mathrm{pts}) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}-3 x^{2}}{3 x^{4}+2 x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}-3x^{2}}{3x^{4}+2x}.
  • A tarefa é encontrar o valor desse limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro cheque direto da forma da expressão ao substituir x=0:
\text{numerador} = 0^{3}-3\cdot0^{2}=0, \qquad \text{denominador} = 3\cdot0^{4}+2\cdot0=0,
logo a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que precisamos de uma técnica para remover a indeterminação (o enunciado pede o uso da regra de L’Hôpital).

Passo 3

Lembrete didático sobre a regra de L’Hôpital (versão para a forma \tfrac{0}{0}):
Se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Observação: polinômios são diferenciáveis em toda parte, portanto as hipóteses de diferenciabilidade aqui estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital: calcule as derivadas do numerador e do denominador.
  • Numerador f(x)=x^{3}-3x^{2}. Derivando termo a termo:
    f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})-\frac{d}{dx}(3x^{2})=3x^{2}-6x.
    Explicando rápido: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}; então de x^{3} vem 3x^{2}, e de 3x^{2} vem 3\cdot 2x=6x.
  • Denominador g(x)=3x^{4}+2x. Derivando:
    g'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{4})+\frac{d}{dx}(2x)=12x^{3}+2.
    Aqui usei que a derivada de x^{4} é 4x^{3}, multiplicando pelo coeficiente 3 12x^{3}; e derivada de 2x é 2.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}-3x^{2}}{3x^{4}+2x} = \lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}-6x}{12x^{3}+2}.

Passo 5

Agora avalie o limite da nova razão. Substituindo x=0 (a nova expressão já não está em indeterminação, pois o denominador será não nulo):
\text{novo numerador em }0: \;3\cdot0^{2}-6\cdot0=0, \qquad \text{novo denominador em }0: \;12\cdot0^{3}+2=2.
Portanto o limite vale
\lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}-6x}{12x^{3}+2}=\frac{0}{2}=0.

Passo 6

Checagem alternativa (maneira algébrica rápida, útil na prova): fatorando a expressão original nota-se que dá para simplificar sem L’Hôpital:
x^{3}-3x^{2}=x^{2}(x-3), \qquad 3x^{4}+2x=x(3x^{3}+2),
então para x\neq0
\frac{x^{3}-3x^{2}}{3x^{4}+2x}=\frac{x^{2}(x-3)}{x(3x^{3}+2)}=\frac{x(x-3)}{3x^{3}+2}.
Ao fazer x\to0 nessa forma, o numerador tende a 0\cdot(-3)=0 e o denominador tende a 2, dando novamente 0. Essa verificação confirma o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

\;0

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