Use a regra de L’Hôpital para encontrar os limites:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o limite
- A tarefa é encontrar o valor desse limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro cheque direto da forma da expressão ao substituir
:
logo a expressão tem a forma indeterminada
. Isso indica que precisamos de uma técnica para remover a indeterminação (o enunciado pede o uso da regra de L’Hôpital).
Passo 3
Lembrete didático sobre a regra de L’Hôpital (versão para a forma
):
Se
e
são funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
e se o limite
existe (ou é
), então
Observação: polinômios são diferenciáveis em toda parte, portanto as hipóteses de diferenciabilidade aqui estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital: calcule as derivadas do numerador e do denominador.
-
Numerador
. Derivando termo a termo: Explicando rápido: a derivada deé ; então de vem , e de vem . -
Denominador
. Derivando: Aqui usei que a derivada deé , multiplicando pelo coeficiente dá ; e derivada de é .
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 5
Agora avalie o limite da nova razão. Substituindo
(a nova expressão já não está em indeterminação, pois o denominador será não nulo):
Portanto o limite vale
Passo 6
Checagem alternativa (maneira algébrica rápida, útil na prova): fatorando a expressão original nota-se que dá para simplificar sem L’Hôpital:
então para
Ao fazer
nessa forma, o numerador tende a
e o denominador tende a
, dando novamente
. Essa verificação confirma o resultado obtido por L’Hôpital.