(1,25 pts) Use a derivação implícita para encontrar \frac{d y}{d x} se 4 x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre x e y:
4x^{2}+y^{2}=1.
O que se pede: encontrar \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x, supondo que y é função de x (mesmo que não esteja escrita explicitamente).

Passo 2

Ideia da técnica (mini-aula sobre diferenciação implícita e regra da cadeia).
  • Na diferenciação implícita tratamos y como uma função de x: y=y(x).
  • Quando derivamos uma expressão que envolve y, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se temos uma composição g(u(x)), então
\frac{d}{dx}\big(g(u(x))\big)=g'(u(x))\cdot u'(x).
  • No caso de y^{2} é útil ver y^{2}=(\;u\;)^{2} com u=y(x). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx}.
Isto porque a derivada de u^{2} em relação a u é 2u, e depois multiplica-se por du/dx=\,dy/dx.

Passo 3

Derivar ambos os lados da equação em relação a x. Diferenciando termo a termo:
  • Para 4x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(4x^{2}\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=4\cdot 2x=8x.
  • Para y^{2}, usando o que vimos:
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx}.
  • O lado direito é constante 1, então
\frac{d}{dx}(1)=0.
Portanto, derivando a igualdade inteira:
8x+2y\cdot\frac{dy}{dx}=0.

Passo 4

Isolar \dfrac{dy}{dx}. A partir de
8x+2y\cdot\frac{dy}{dx}=0
subtraímos 8x dos dois lados:
2y\cdot\frac{dy}{dx}=-8x.
Agora dividimos por 2y (atenção: isso só é válido quando y\neq 0):
\frac{dy}{dx}=-\frac{8x}{2y}=-\frac{4x}{y}.

Passo 5

Interpretação e observações finais.
  • A fórmula encontrada é
\frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{y}.
  • Observação importante: a expressão não é válida quando y=0 (divisão por zero). Nesse caso a derivada pode não existir ou deve ser analisada caso a caso (mas para a curva 4x^{2}+y^{2}=1, quando y=0 temos 4x^{2}=1, ou seja x=\pm\tfrac{1}{2}; nesses pontos a tangente é vertical, o que corresponde a derivada indefinida/infinita).
  • Exemplo rápido: no ponto (0,1) (que satisfaz 4\cdot0^{2}+1^{2}=1), a inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx}\Big|_{(0,1)}=-\frac{4\cdot 0}{1}=0,
ou seja tangente horizontal ali. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!

Resposta

-\dfrac{4x}{y}

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