(1,25 pts) Use a derivação implícita para encontrar
se
.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
:
O que se pede: encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
, supondo que
é função de
(mesmo que não esteja escrita explicitamente).
Passo 2
Ideia da técnica (mini-aula sobre diferenciação implícita e regra da cadeia).
- Na diferenciação implícita tratamos
como uma função de : . - Quando derivamos uma expressão que envolve
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se temos uma composição , então
- No caso de
é útil ver com . Aplicando a regra da cadeia:
Isto porque a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplica-se por
.
Passo 3
Derivar ambos os lados da equação em relação a
. Diferenciando termo a termo:
- Para
:
- Para
, usando o que vimos:
- O lado direito é constante
, então
Portanto, derivando a igualdade inteira:
Passo 4
Isolar
. A partir de
subtraímos
dos dois lados:
Agora dividimos por
(atenção: isso só é válido quando
):
Passo 5
Interpretação e observações finais.
- A fórmula encontrada é
- Observação importante: a expressão não é válida quando
(divisão por zero). Nesse caso a derivada pode não existir ou deve ser analisada caso a caso (mas para a curva , quando temos , ou seja ; nesses pontos a tangente é vertical, o que corresponde a derivada indefinida/infinita). - Exemplo rápido: no ponto
(que satisfaz ), a inclinação da tangente é
ou seja tangente horizontal ali. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!