Calcule as derivadas:
(1,25 \mathrm{pts}) y=\frac{\ln (4 x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{\ln(4x)}{x^{2}}
e pede para calcular a derivada y'.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é dada por \displaystyle y=\frac{\ln(4x)}{x^{2}}.
  • Domínio implícito: 4x>0, ou seja \,x>0.

Passo 2

Plano de ataque (o que vamos usar e por quê). Vou reescrever a função como produto para facilitar a derivação:
y=\ln(4x)\cdot x^{-2}.
As regras que usarei e uma explicação breve e didática de cada uma:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)'=u'v+uv'.
Isto significa: a derivada do produto é a soma de “derivada da primeira vezes a segunda” com “primeira vezes derivada da segunda”.
  • Regra da cadeia (aplicada ao log): se u(x)=\ln(w(x)) então
u'(x)=\frac{w'(x)}{w(x)}.
Aqui w(x) é a função interna; a derivada de \ln é 1/ (coisa interna) multiplicada pela derivada da coisa interna.
  • Regra da potência (power rule): para v(x)=x^{n},
v'(x)=n x^{n-1}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Identificar as funções para a regra do produto:
u(x)=\ln(4x),\qquad v(x)=x^{-2}.
Calcular u'(x) usando a regra da cadeia: tomar w(x)=4x, então w'(x)=4 e
u'(x)=\frac{w'(x)}{w(x)}=\frac{4}{4x}=\frac{1}{x}.
Observação intuitiva: a derivada de \ln(kx) (com k constante positiva) é \dfrac{1}{x} porque o fator k se anula pelo quociente.
Calcular v'(x) usando a regra da potência:
v'(x)=(-2)x^{-3}=-2x^{-3}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
y'=u'v+uv'.
Substituindo os resultados:
y'=\frac{1}{x}\cdot x^{-2}+\ln(4x)\cdot(-2x^{-3}).
Agora simplificar termo a termo. Primeiro termo:
\frac{1}{x}\cdot x^{-2}=x^{-3}.
Segundo termo:
\ln(4x)\cdot(-2x^{-3})=-2\ln(4x)\,x^{-3}.
Somando:
y'=x^{-3}-2\ln(4x)\,x^{-3}.
Fatorando x^{-3}:
y'=x^{-3}\bigl(1-2\ln(4x)\bigr).
Escrevendo em forma de fração (mais comum em provas):
y'=\frac{1-2\ln(4x)}{x^{3}}.

Passo 5

(Verificação rápida) Se alguém preferir, dá para usar a regra do quociente em \displaystyle y=\frac{\ln(4x)}{x^{2}}; fará a mesma conta e também resulta em
y'=\frac{1-2\ln(4x)}{x^{3}}.
Bom sinal de que o resultado está consistente.

Resposta

y'=\frac{1-2\ln(4x)}{x^{3}}

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