Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é dada por
. - Domínio implícito:
, ou seja .
Passo 2
Plano de ataque (o que vamos usar e por quê). Vou reescrever a função como produto para facilitar a derivação:
As regras que usarei e uma explicação breve e didática de cada uma:
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Isto significa: a derivada do produto é a soma de “derivada da primeira vezes a segunda” com “primeira vezes derivada da segunda”.
- Regra da cadeia (aplicada ao log): se
então
Aqui
é a função interna; a derivada de
é
(coisa interna) multiplicada pela derivada da coisa interna.
- Regra da potência (power rule): para
,
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Identificar as funções para a regra do produto:
Calcular
usando a regra da cadeia: tomar
, então
e
Observação intuitiva: a derivada de
(com
constante positiva) é
porque o fator
se anula pelo quociente.
Calcular
usando a regra da potência:
Passo 4
Aplicar a regra do produto:
Substituindo os resultados:
Agora simplificar termo a termo. Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
Fatorando
:
Escrevendo em forma de fração (mais comum em provas):
Passo 5
(Verificação rápida) Se alguém preferir, dá para usar a regra do quociente em
; fará a mesma conta e também resulta em
Bom sinal de que o resultado está consistente.