Use a regra de L’Hospital (quando possível) para calcular os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma potência cuja base é
e o expoente é . - Ao nos aproximarmos de
, a base tende a porque . - O expoente tende a infinito (diverge):
não existe como número finito (é pela direita e pela esquerda). - Portanto a expressão possui a forma indeterminada do tipo
, que é um caso clássico onde transformamos a potência em uma exponencial para aplicar L’Hospital quando necessário.
Passo 2
Transformação padrão para tratar
: escrevemos a função como uma exponencial usando o logaritmo natural. Defina
Se conseguirmos calcular
então, por continuidade da exponencial, teremos
Explicando: tomamos logaritmo natural da expressão e usamos que
é função contínua para voltar ao resultado final.
Passo 3
Focalizamos no limite do expoente:
Vamos analisar
. Observamos que quando
temos
e o denominador
. Então é uma forma
, o que permite (sob as hipóteses usuais) aplicar a Regra de L’Hospital.
Breve lembrete (didático): a Regra de L’Hospital diz que se
e
e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
, então
quando o limite à direita existir (ou for
). Aqui podemos aplicar isto com
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias para aplicar L’Hospital.
Derivada do numerador
:
usar regra da cadeia e derivada do logaritmo:
usar regra da cadeia e derivada do logaritmo:
Derivada do denominador
é
Passo 5
Pelo L’Hospital,
Agora avaliamos esse limite direto, substituindo
porque não há indeterminação:
- No numerador:
. - No denominador:
.
Portanto
Passo 6
Voltando ao expoente multiplicado por
:
Então, pela etapa da exponencial (Passo 2),