Use a regra de L’Hospital (quando possível) para calcular os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2}+e^{x}\right)^{51 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(x^{2}+e^{x}\right)^{51/x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma potência cuja base é \left(x^{2}+e^{x}\right) e o expoente é 51/x.
  • Ao nos aproximarmos de x=0, a base tende a \,1 porque \lim_{x\to 0}x^{2}+e^{x}=0+1=1.
  • O expoente tende a infinito (diverge): \lim_{x\to 0}51/x não existe como número finito (é +\infty pela direita e -\infty pela esquerda).
  • Portanto a expressão possui a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}, que é um caso clássico onde transformamos a potência em uma exponencial para aplicar L’Hospital quando necessário.

Passo 2

Transformação padrão para tratar 1^{\infty}: escrevemos a função como uma exponencial usando o logaritmo natural. Defina
L=\lim_{x\to 0}\left(x^{2}+e^{x}\right)^{51/x}.
Se conseguirmos calcular
\lim_{x\to 0}\frac{51\ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right)}{x},
então, por continuidade da exponencial, teremos
L=\exp\!\left(\lim_{x\to 0}\frac{51\ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right)}{x}\right).
Explicando: tomamos logaritmo natural da expressão e usamos que \exp é função contínua para voltar ao resultado final.

Passo 3

Focalizamos no limite do expoente:
\lim_{x\to 0}\frac{51\ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right)}{x}=51\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right)}{x}.
Vamos analisar \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right)}{x}. Observamos que quando x\to 0 temos \ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right)\to\ln 1=0 e o denominador x\to 0. Então é uma forma 0/0, o que permite (sob as hipóteses usuais) aplicar a Regra de L’Hospital.
Breve lembrete (didático): a Regra de L’Hospital diz que se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty). Aqui podemos aplicar isto com f(x)=\ln(x^{2}+e^{x}) e g(x)=x.

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias para aplicar L’Hospital.
Derivada do numerador f(x)=\ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right):
usar regra da cadeia e derivada do logaritmo:
f'(x)=\frac{1}{x^{2}+e^{x}}\cdot\left(2x+e^{x}\right).
Derivada do denominador g(x)=x é
g'(x)=1.

Passo 5

Pelo L’Hospital,
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x+e^{x}}{x^{2}+e^{x}}.
Agora avaliamos esse limite direto, substituindo x=0 porque não há indeterminação:
  • No numerador: 2\cdot 0 + e^{0}=1.
  • No denominador: 0^{2}+e^{0}=1.
    Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{2x+e^{x}}{x^{2}+e^{x}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Voltando ao expoente multiplicado por 51:
\lim_{x\to 0}\frac{51\ln\!\left(x^{2}+e^{x}\right)}{x}=51\cdot 1=51.
Então, pela etapa da exponencial (Passo 2),
L=\exp(51)=e^{51}.

Resposta

e^{51}

Exercícios relacionados