A tarefa explícita é usar a regra de L’Hospital quando for possível.
Passo 2
Primeiro vamos verificar o tipo de indeterminação ao fazermos x\to -\infty. Para isso observamos o comportamento das duas partes dominantes (termos de maior grau):
Logo numerador e denominador tendem ambos a -\infty. Isso é uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty} (podemos tratar \frac{-\infty}{-\infty} como \frac{\infty}{\infty} para aplicar L’Hospital). Portanto as hipóteses para aplicar a regra de L’Hospital estão satisfeitas (funções diferenciáveis e forma indeterminada \infty/\infty).
Breve explicação da regra de L’Hospital (didática): se \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty e \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 perto de a, então
Agora verificamos o novo limite: quando x\to -\infty temos x^{2}\to +\infty, logo 3x^{2}-4\to +\infty e 15x^{2}+14x\to +\infty. Ainda é uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar L’Hospital novamente.
Passo 4
Aplicamos L’Hospital pela segunda vez, diferenciando novamente numerador e denominador:
Agora, quando x\to -\infty temos 6x\to -\infty e 30x+14\to -\infty, portanto ainda é indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty} (mais precisamente \frac{-\infty}{-\infty}). Podemos aplicar L’Hospital mais uma vez.
Comentário prático (para prova): esse procedimento com três aplicações de L’Hospital equivale, no caso de polinômios de mesmo grau, a observar que o comportamento para |x| grande é dominado pelos termos de maior grau e o limite é a razão dos coeficientes principais; aqui 1/5. Mas como o enunciado pediu L’Hospital, fizemos as derivações passo a passo.