Use a regra de L’Hospital (quando possível) para calcular os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}-4 x+300}{5 x^{3}+7 x^{2}+100}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^{3}-4x+300}{5x^{3}+7x^{2}+100}.
Dados fornecidos:
\text{numerador } = x^{3}-4x+300, \qquad \text{denominador } = 5x^{3}+7x^{2}+100.
A tarefa explícita é usar a regra de L’Hospital quando for possível.

Passo 2

Primeiro vamos verificar o tipo de indeterminação ao fazermos x\to -\infty. Para isso observamos o comportamento das duas partes dominantes (termos de maior grau):
x^{3}\xrightarrow[x\to -\infty]{} -\infty, \qquad 5x^{3}\xrightarrow[x\to -\infty]{} -\infty.
Logo numerador e denominador tendem ambos a -\infty. Isso é uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty} (podemos tratar \frac{-\infty}{-\infty} como \frac{\infty}{\infty} para aplicar L’Hospital). Portanto as hipóteses para aplicar a regra de L’Hospital estão satisfeitas (funções diferenciáveis e forma indeterminada \infty/\infty).
Breve explicação da regra de L’Hospital (didática): se \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty e \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existe (ou é \pm\infty). Podemos aplicar repetidamente se a indeterminação persistir.

Passo 3

Aplicamos L’Hospital pela primeira vez, diferenciando numerador e denominador:
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}(x^{3}-4x+300)=3x^{2}-4.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}(5x^{3}+7x^{2}+100)=15x^{2}+14x.
Portanto, pelo L’Hospital,
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}-4x+300}{5x^{3}+7x^{2}+100} = \lim_{x\to -\infty}\frac{3x^{2}-4}{15x^{2}+14x}.
Agora verificamos o novo limite: quando x\to -\infty temos x^{2}\to +\infty, logo 3x^{2}-4\to +\infty e 15x^{2}+14x\to +\infty. Ainda é uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar L’Hospital novamente.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital pela segunda vez, diferenciando novamente numerador e denominador:
Derivada do novo numerador:
\frac{d}{dx}(3x^{2}-4)=6x.
Derivada do novo denominador:
\frac{d}{dx}(15x^{2}+14x)=30x+14.
Então
\lim_{x\to -\infty}\frac{3x^{2}-4}{15x^{2}+14x} = \lim_{x\to -\infty}\frac{6x}{30x+14}.
Agora, quando x\to -\infty temos 6x\to -\infty e 30x+14\to -\infty, portanto ainda é indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty} (mais precisamente \frac{-\infty}{-\infty}). Podemos aplicar L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Aplicamos L’Hospital pela terceira vez:
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}(6x)=6.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}(30x+14)=30.
Portanto
\lim_{x\to -\infty}\frac{6x}{30x+14} = \lim_{x\to -\infty}\frac{6}{30}.
O lado direito é uma constante, logo o limite é
\frac{6}{30}=\frac{1}{5}.
Comentário prático (para prova): esse procedimento com três aplicações de L’Hospital equivale, no caso de polinômios de mesmo grau, a observar que o comportamento para |x| grande é dominado pelos termos de maior grau e o limite é a razão dos coeficientes principais; aqui 1/5. Mas como o enunciado pediu L’Hospital, fizemos as derivações passo a passo.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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