Demonstrar que a função
u=\varphi(x-a t)+\psi(x+a t)
satisfaz a equação de vibrações da corda:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=u^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
u=\varphi(x-a t)+\psi(x+a t)
onde \varphi e \psi são funções diferenciáveis (pelo menos duas vezes) e pede para demonstrar que essa u satisfaz a equação de vibrações da corda
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
\varphi e \psi são duas vezes diferenciáveis; u é definida por soma de duas composições \varphi(x-at) e \psi(x+at); a é uma constante. A missão é calcular as derivadas parciais necessárias e verificar que a igualdade da equação de onda vale.

Passo 2

Lembrete didático sobre a regra da cadeia (versão usada aqui). Se F é uma função de uma variável e \xi=\xi(x,t) é uma função de x,t, então
\frac{\partial}{\partial t}F(\xi(x,t))=F'(\xi(x,t))\frac{\partial \xi}{\partial t}.
Aqui F' é a derivada usual de F em relação ao argumento. Aplicando isso com F=\varphi e \xi=x-at ou com F=\psi e \eta=x+at nos permite calcular as derivadas parciais de u. Exemplo simples: para \xi=x-at temos \partial\xi/\partial t=-a, então \partial_t\varphi(x-at)=-a\,\varphi'(x-at).

Passo 3

Definimos para clareza
\xi := x-at,\qquad \eta := x+at.
Então u=\varphi(\xi)+\psi(\eta). Calculemos a primeira derivada parcial em relação a t usando a regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\varphi(\xi)+\frac{\partial}{\partial t}\psi(\eta) = \varphi'(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial t}+\psi'(\eta)\frac{\partial \eta}{\partial t}.
Como \partial \xi/\partial t=-a e \partial \eta/\partial t= a, obtemos
\frac{\partial u}{\partial t}=-a\,\varphi'(\xi)+a\,\psi'(\eta).

Passo 4

Agora derivamos novamente em relação a t para obter \partial^{2}u/\partial t^{2}. Aplicando a regra da cadeia a cada termo:
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\big(-a\,\varphi'(\xi)\big)+\frac{\partial}{\partial t}\big(a\,\psi'(\eta)\big).
Para o primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial t}\big(-a\,\varphi'(\xi)\big)=-a\cdot\varphi''(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial t}=-a\cdot\varphi''(\xi)(-a)=a^{2}\varphi''(\xi).
Para o segundo termo:
\frac{\partial}{\partial t}\big(a\,\psi'(\eta)\big)=a\cdot\psi''(\eta)\frac{\partial \eta}{\partial t}=a\cdot\psi''(\eta)\,a=a^{2}\psi''(\eta).
Somando:
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=a^{2}\varphi''(\xi)+a^{2}\psi''(\eta)=a^{2}\big(\varphi''(\xi)+\psi''(\eta)\big).

Passo 5

Agora calculamos as derivadas parciais em relação a x. Primeira derivada:
\frac{\partial u}{\partial x}=\varphi'(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial x}+\psi'(\eta)\frac{\partial \eta}{\partial x}.
Como \partial \xi/\partial x=1 e \partial \eta/\partial x=1, temos
\frac{\partial u}{\partial x}=\varphi'(\xi)+\psi'(\eta).
Segunda derivada em relação a x:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\varphi'(\xi)+\psi'(\eta)\big) =\varphi''(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial x}+\psi''(\eta)\frac{\partial \eta}{\partial x} =\varphi''(\xi)+\psi''(\eta).

Passo 6

Compare as expressões obtidas em \

Passo 7

\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=a^{2}\big(\varphi''(\xi)+\psi''(\eta)\big)
e
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\varphi''(\xi)+\psi''(\eta).
Logo
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.
Portanto a função dada satisfaz a equação de vibrações da corda.

Resposta

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

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