Demonstrar que a função
satisfaz a equação de vibrações da corda:
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
e
são funções diferenciáveis (pelo menos duas vezes) e pede para demonstrar que essa
satisfaz a equação de vibrações da corda
Informações relevantes fornecidas:
e
são duas vezes diferenciáveis;
é definida por soma de duas composições
e
;
é uma constante. A missão é calcular as derivadas parciais necessárias e verificar que a igualdade da equação de onda vale.
Passo 2
Lembrete didático sobre a regra da cadeia (versão usada aqui). Se
é uma função de uma variável e
é uma função de
, então
Aqui
é a derivada usual de
em relação ao argumento. Aplicando isso com
e
ou com
e
nos permite calcular as derivadas parciais de
. Exemplo simples: para
temos
, então
.
Passo 3
Definimos para clareza
Então
. Calculemos a primeira derivada parcial em relação a
usando a regra da cadeia:
Como
e
, obtemos
Passo 4
Agora derivamos novamente em relação a
para obter
. Aplicando a regra da cadeia a cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Somando:
Passo 5
Agora calculamos as derivadas parciais em relação a
. Primeira derivada:
Como
e
, temos
Segunda derivada em relação a
:
Passo 6
Compare as expressões obtidas em \
Passo 7
e
Logo
Portanto a função dada satisfaz a equação de vibrações da corda.