Use a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson para aproximar a seguinte integral:
Compare o resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a integral
usando a Regra do Ponto Médio composta e a Regra de Simpson composta com
, e comparar cada aproximação com o valor exato para obter o erro de cada método.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- Intervalo:
. - Número de subintervalos:
. - Função:
. - Passos a realizar: (i) calcular a aproximação do Ponto Médio composta com passo
; (ii) calcular a aproximação de Simpson composta com o mesmo ; (iii) calcular o valor exato da integral e subtrair para obter os erros absolutos.
Passo 2
Definições e fórmulas importantes (aula curta e prática):
- Passo
:
- Regra do Ponto Médio composta (com
subintervalos iguais): se os pontos médios de cada subintervalo são , então
onde
.
- Regra de Simpson composta (para
par): com nós , ,
- Valor exato da integral (fórmula primária): vamos encontrar a primitiva, isso é útil para comparar. Use substituição: se
então , logo
Portanto o valor exato é
Guarde: o exato é
.
Passo 3
Preparação para aplicar o Ponto Médio composto:
-
. - Os pontos médios são
, . Como temos . - Para essas razões racionais notamos uma simplificação prática:
Nosso
para os médios são
.
Passo 4
Cálculo dos valores em cada ponto médio (uso das simplificações exatas e valores numéricos):
(Observação didática: para alguns
aparecem quadrados perfeitos como
, o que dá valores exatos fáceis.)
Passo 5
Soma para a Regra do Ponto Médio e cálculo final:
- Soma dos valores dos médios (aproximada):
- Aplicando
com :
Passo 6
Preparação para Simpson composta:
- Nós nos pontos
, : (pois ). - Avaliamos
. Para várias dessas frações surgem formas simples:
Passo 7
Cálculo da soma de Simpson:
- Soma dos índices ímpares (
):
- Soma dos índices pares interiores (
):
- Agora Simpson:
- Calculando o que está entre parênteses:
- Multiplicando por
,
Passo 8
Cálculo do valor exato e dos erros absolutos:
- Valor exato (já obtido):
- Erro absoluto do Ponto Médio:
- Erro absoluto de Simpson:
Resposta
Regra do Ponto Médio (com
):
. Erro absoluto
.
Regra de Simpson (com
):
. Erro absoluto
.