Use a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson para aproximar a seguinte integral:
\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} d x, \quad n=8
Compare o resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a integral
\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx
usando a Regra do Ponto Médio composta e a Regra de Simpson composta com n=8, e comparar cada aproximação com o valor exato para obter o erro de cada método.
Informações dadas relevantes:
  • Intervalo: [a,b]=[0,2].
  • Número de subintervalos: n=8.
  • Função: f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
  • Passos a realizar: (i) calcular a aproximação do Ponto Médio composta com passo h=(b-a)/n; (ii) calcular a aproximação de Simpson composta com o mesmo h; (iii) calcular o valor exato da integral e subtrair para obter os erros absolutos.

Passo 2

Definições e fórmulas importantes (aula curta e prática):
  • Passo h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{8}=\frac{1}{4}=0,25.
  • Regra do Ponto Médio composta (com n subintervalos iguais): se os pontos médios de cada subintervalo são m_i, então
M_n = h\sum_{i=1}^{n} f(m_i),
onde m_i = a+(i-\tfrac12)h.
  • Regra de Simpson composta (para n par): com nós x_k=a+kh, k=0,\dots,n,
S_n=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{j=1,\,\text{ímpar}}^{n-1} f(x_j)+2\sum_{j=2,\,\text{par}}^{n-2} f(x_j)\Big).í
  • Valor exato da integral (fórmula primária): vamos encontrar a primitiva, isso é útil para comparar. Use substituição: se u=1+x^2 então du=2x\,dx, logo
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \sqrt{1+x^2}+C.
Portanto o valor exato é
\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \sqrt{1+2^{2}}-\sqrt{1+0^{2}}=\sqrt{5}-1.
Guarde: o exato é \sqrt{5}-1.

Passo 3

Preparação para aplicar o Ponto Médio composto:
  • h=0,25.
  • Os pontos médios são m_i = (i-\tfrac12)h, i=1,\dots,8. Como h=\tfrac14 temos m_i=\dfrac{2i-1}{8}.
  • Para essas razões racionais notamos uma simplificação prática:
f\!\left(\frac{k}{8}\right)=\frac{k}{\sqrt{64+k^2}}\quad\text{(pois }f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\text{ e }x=\frac{k}{8}\Rightarrow 1+x^2=\frac{64+k^2}{64}\text{).}
Nosso k para os médios são k=1,3,5,7,9,11,13,15.

Passo 4

Cálculo dos valores em cada ponto médio (uso das simplificações exatas e valores numéricos):
\begin{aligned} f\!\left(\tfrac{1}{8}\right)&=\frac{1}{\sqrt{65}}\approx 0{,}12403473458920847,\\\ f\!\left(\tfrac{3}{8}\right)&=\frac{3}{\sqrt{73}}\approx 0{,}351123537069,\\\ f\!\left(\tfrac{5}{8}\right)&=\frac{5}{\sqrt{89}}\approx 0{,}5303300858899106,\\\ f\!\left(\tfrac{7}{8}\right)&=\frac{7}{\sqrt{113}}\approx 0{,}6585041031775561,\\\ f\!\left(\tfrac{9}{8}\right)&=\frac{9}{\sqrt{145}}\approx 0{,}7474093180539998,\\\ f\!\left(\tfrac{11}{8}\right)&=\frac{11}{\sqrt{185}}\approx 0{,}808735\;(\text{aprox.}),\\\ f\!\left(\tfrac{13}{8}\right)&=\frac{13}{\sqrt{233}}\approx 0{,}851658\;(\text{aprox.}),\\\ f\!\left(\tfrac{15}{8}\right)&=\frac{15}{\sqrt{289}}=\frac{15}{17}\approx 0{,}8823529411764706. \end{aligned}
(Observação didática: para alguns k aparecem quadrados perfeitos como 289=17^2, o que dá valores exatos fáceis.)

Passo 5

Soma para a Regra do Ponto Médio e cálculo final:
  • Soma dos valores dos médios (aproximada):
\sum_{i=1}^{8} f(m_i)\approx 0{,}1240347346+0{,}3511235371+0{,}5303300859+0{,}6585041032
\qquad\qquad\quad +0{,}7474093181+0{,}808735+0{,}851658+0{,}8823529412
\sum_{i=1}^{8} f(m_i)\approx 4{,}9541487192.
  • Aplicando M_n=h\sum f(m_i) com h=0{,}25:
M_8 \approx 0{,}25\cdot 4{,}9541487192 \approx 1{,}2385371798.

Passo 6

Preparação para Simpson composta:
  • Nós nos pontos x_k=a+kh, k=0,\dots,8: x_k = \tfrac{k}{4} (pois h=\tfrac14).
  • Avaliamos f(x_k)=\dfrac{x_k}{\sqrt{1+x_k^2}}. Para várias dessas frações surgem formas simples:
\begin{aligned} f(0)&=0,\\\ f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)&=\frac{1}{\sqrt{17}}\approx 0{,}2425356250,\\\ f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)&=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0{,}4472135955,\\\ f\!\left(\tfrac{3}{4}\right)&=\frac{3}{5}=0{,}6,\\\ f(1)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071067812,\\\ f\!\left(\tfrac{5}{4}\right)&=\frac{5}{\sqrt{41}}\approx 0{,}7808688094,\\\ f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)&=\frac{3}{\sqrt{13}}\approx 0{,}8320502943,\\\ f\!\left(\tfrac{7}{4}\right)&=\frac{7}{\sqrt{65}}\approx 0{,}8682431421,\\\ f(2)&=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}8944271910. \end{aligned}

Passo 7

Cálculo da soma de Simpson:
  • Soma dos índices ímpares ( x_1,x_3,x_5,x_7):
\sum_{\text{ímpar}} f(x_j)\approx 0{,}2425356250+0{,}6+0{,}7808688094+0{,}8682431421\approx 2{,}4916475765.í
  • Soma dos índices pares interiores ( x_2,x_4,x_6):
\sum_{\text{par}} f(x_j)\approx 0{,}4472135955+0{,}7071067812+0{,}8320502943\approx 1{,}986370671.
  • Agora Simpson:
\begin{aligned} S_8 &= \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_8)+4\sum_{\text{ímpar}}f(x_j)+2\sum_{\text{par}}f(x_j)\Big)\\[4pt] &=\frac{0{,}25}{3}\Big(0+0{,}8944271910+4\cdot 2{,}4916475765+2\cdot 1{,}986370671\Big). \end{aligned}í
  • Calculando o que está entre parênteses:
0{,}8944271910+4\cdot 2{,}4916475765+2\cdot 1{,}986370671 \approx 14{,}833758839.
  • Multiplicando por h/3=0{,}25/3\approx 0{,}08333333333,
S_8 \approx 14{,}833758839\cdot 0{,}08333333333 \approx 1{,}2361465699.]

Passo 8

Cálculo do valor exato e dos erros absolutos:
  • Valor exato (já obtido):
I=\sqrt{5}-1\approx 2{,}23606797749979-1=1{,}23606797749979\\ (\text{usarei }1{,}2360679775).
  • Erro absoluto do Ponto Médio:
\text{Erro}_{M}=|M_8-I|\approx |1{,}2385371798-1{,}2360679775|\approx 0{,}0024692023.
  • Erro absoluto de Simpson:
\text{Erro}_{S}=|S_8-I|\approx |1{,}2361465699-1{,}2360679775|\approx 0{,}0000785924.

Resposta

Regra do Ponto Médio (com n=8): M_8 \approx 1{,}2385371798. Erro absoluto \approx 0{,}0024692023.
Regra de Simpson (com n=8): S_8 \approx 1{,}2361465699. Erro absoluto \approx 0{,}0000785924.

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