Use a regra da substituição com a substituição indicada, em conjunto com a integração por partes, para calcular as seguintes integrais:
a) \int \frac{1}{2} \operatorname{sen}(\sqrt{x}) d x,(u=\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{2}\operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx
usando a substituição indicada u=\sqrt{x} e, em seguida, integração por partes.

Passo 2

Fazendo u=\sqrt{x} implica x=u^2 e
dx = 2u\,du.
Substituindo na integral temos
\int \frac{1}{2}\operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx = \int \frac{1}{2}\operatorname{sen}(u)\,(2u\,du) = \int u\,\operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \int u\,\operatorname{sen}(u)\,du usamos a fórmula de integração por partes, escolhendo
A = u,\quad dB = \operatorname{sen}(u)\,du
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dA = du,\quad B = -\cos(u).
Assim,
\int u\,\operatorname{sen}(u)\,du = A\,B - \int B\,dA = \bigl(u\cdot(-\cos(u))\bigr) - \int(-\cos(u))\,du = -u\cos(u) + \int\cos(u)\,du = -u\cos(u) + \operatorname{sen}(u) + C.

Passo 4

Substituindo de volta u=\sqrt{x} obtemos
\int \frac{1}{2}\operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx = -\sqrt{x}\cos(\sqrt{x}) + \operatorname{sen}(\sqrt{x}) + C.

Resposta

-\sqrt{x}\cos(\sqrt{x}) + \operatorname{sen}(\sqrt{x}) + C

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