Calcule as integrais abaixo por meio da integração por partes.
d) \int \ln (x)\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \ln(x)\,\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é integração por partes, cuja fórmula geral é
\int u\,dv \;=\; u\,v \;-\;\int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x), \quad dv = x^{-1/2}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^{-1/2}\,dx = 2\,x^{1/2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes,
\int \ln(x)\,x^{-1/2}\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = 2\sqrt{x}\,\ln(x)\;-\;\int 2\sqrt{x}\,\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Na integral remanescente simplificamos o integrando:
\int 2\sqrt{x}\,\frac{1}{x}\,dx =2\int x^{-1/2}\,dx =2\cdot 2\,x^{1/2} =4\sqrt{x}.

Passo 5

Substituindo de volta no resultado por partes, obtemos
\int \ln(x)\,\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx =2\sqrt{x}\,\ln(x)\;-\;4\sqrt{x}+C.

Resposta

2\sqrt{x}\,\ln(x)\;-\;4\sqrt{x}+C.

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