Use a regra da substituição com a substituição indicada, em conjunto com a integração por partes, para calcular as seguintes integrais:
b) \int 2 x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x,\left(u=x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 2 x^{3} \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando a substituição indicada u=x^{2} em conjunto com integração por partes. O conteúdo envolvido é transformação de variáveis para simplificar a integral e depois aplicar a fórmula
\int f\,dg = f\,g - \int g\,df.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x^{2}, temos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Note que 2x^{3}\,dx = 2x^{2}\cdot x\,dx = 2u\cdot\frac{du}{2} = u\,du. Portanto a integral vira
\int 2 x^{3} \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int u \cos(u)\,du.

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em
\int u \cos(u)\,du.
Escolhemos
f = u,\quad dg = \cos(u)\,du \quad\Longrightarrow\quad df = du,\quad g = \sin(u).
Logo
\int u\cos(u)\,du = u\,\sin(u) - \int \sin(u)\,du.

Passo 4

Calculamos a integral remanescente:
\int \sin(u)\,du = -\cos(u).
Substituindo de volta, obtemos
\int u\cos(u)\,du = u\,\sin(u) - \bigl(-\cos(u)\bigr) = u\,\sin(u) + \cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x usando u = x^{2}, a antiderivada final é
x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) + \cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\int 2 x^{3} \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) + \cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

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