Use a regra da substituição com a substituição indicada, em conjunto com a integração por partes, para calcular as seguintes integrais:
c) \int 2 x^{5} e^{x^{2}} d x,\left(u=x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 2x^{5}e^{x^{2}}\,dx
usando a substituição u=x^{2} e depois integração por partes. O conteúdo é combinação de mudança de variável e técnica de partes.

Passo 2

Fazendo u=x^{2} temos
du=2x\,dx
e x^{5}=x^{4}\cdot x = (u^{2})\cdot x. Logo
\int 2x^{5}e^{x^{2}}\,dx =\int x^{4}\,e^{u}\,du =\int u^{2}e^{u}\,du.

Passo 3

Para \int u^{2}e^{u}\,du aplicamos integração por partes: tomamos
A=u^{2},\qquad dB=e^{u}du
então
dA=2u\,du,\qquad B=e^{u}
e
\int u^{2}e^{u}\,du =u^{2}e^{u}-\int 2u\,e^{u}\,du.

Passo 4

Ainda em \int 2u\,e^{u}\,du, usamos partes com
A=u,\qquad dB=e^{u}du
de onde
dA=du,\qquad B=e^{u}
e
\int u\,e^{u}\,du =u\,e^{u}-\int e^{u}\,du =u\,e^{u}-e^{u}.
Multiplicando por 2,
\int 2u\,e^{u}\,du =2\bigl(u\,e^{u}-e^{u}\bigr) =2u\,e^{u}-2e^{u}.

Passo 5

Voltando a \int u^{2}e^{u}\,du,
\int u^{2}e^{u}\,du =u^{2}e^{u}-\bigl(2u\,e^{u}-2e^{u}\bigr) =e^{u}\bigl(u^{2}-2u+2\bigr)+C.
Fazendo u=x^{2}, obtemos
\int 2x^{5}e^{x^{2}}\,dx =e^{x^{2}}\bigl(x^{4}-2x^{2}+2\bigr)+C.

Resposta

\int 2x^{5}e^{x^{2}}\,dx =e^{x^{2}}\bigl(x^{4}-2x^{2}+2\bigr)+C.

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