Utilize a técnica das frações parciais para calcular as integrais a seguir:
b) \int \frac{x^{2}}{(x-3)(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{(x-3)(x+1)^{2}}\,dx
usando frações parciais. O conteúdo principal é decompor a função racional em somatório de termos mais simples e depois integrar cada um.

Passo 2

Proponha a forma de frações parciais
\frac{x^{2}}{(x-3)(x+1)^{2}} =\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}.
Multiplique ambos os lados por (x-3)(x+1)^{2} e obtenha
x^{2} =A\,(x+1)^{2}+B\,(x-3)(x+1)+C\,(x-3).
Expanda os termos:
A(x^{2}+2x+1)+B(x^{2}-2x-3)+C(x-3) =(A+B)\,x^{2}+(2A-2B+C)\,x+(A-3B-3C).
Como isso deve ser igual a x^{2}+0x+0, formamos o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 2A-2B+C=0,\\\ A-3B-3C=0. \end{cases}

Passo 3

Resolva o sistema:
  1. De A+B=1 vem B=1-A.
  2. Na segunda equação
2A-2(1-A)+C=0 \;\Longrightarrow\;4A+C-2=0 \;\Longrightarrow\;C=2-4A.
  1. Na terceira
A-3(1-A)-3(2-4A)=0 \;\Longrightarrow\;16A-9=0 \;\Longrightarrow\;A=\tfrac{9}{16}.
Logo
B=1-\tfrac{9}{16}=\tfrac{7}{16}, \qquad C=2-4\cdot\tfrac{9}{16}=2-\tfrac{9}{4}=-\tfrac{1}{4}.
Assim
\frac{x^{2}}{(x-3)(x+1)^{2}} =\frac{9/16}{x-3}+\frac{7/16}{x+1}-\frac{1/4}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Integre termo a termo:
\int \frac{9/16}{x-3}\,dx =\frac{9}{16}\ln\lvert x-3\rvert,
\int \frac{7/16}{x+1}\,dx =\frac{7}{16}\ln\lvert x+1\rvert,
\int -\frac{1/4}{(x+1)^{2}}\,dx =-\frac{1}{4}\int (x+1)^{-2}\,dx =-\frac{1}{4}\biggl(-\frac{1}{x+1}\biggr) =\frac{1}{4(x+1)}.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{(x-3)(x+1)^{2}}\,dx =\frac{9}{16}\ln\lvert x-3\rvert +\frac{7}{16}\ln\lvert x+1\rvert +\frac{1}{4(x+1)}+C.

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