Use as relações para avaliar as seguintes integrais envolvendo a função delta de Dirac:
\int_{-2}^{2} e^{7 x+2} \delta(5 x) d x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se avaliar a integral
\int_{-2}^{2} e^{7x+2}\,\delta(5x)\,dx.
  • Informação relevante: \delta é a função delta de Dirac (distribuição). Os limites de integração vão de -2 a 2, portanto o ponto x=0 está dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Lembrando propriedades úteis da delta de Dirac (aula rápida e intuitiva).
  • Propriedade de amostragem (sampling): para uma função contínua f\), \[\int_{a}^{b} f(x)\,\delta(x-x_0)\,dx = \begin{cases} f(x_0), & \text{se } x_0\in[a,b],\\[4pt] 0, & \text{se } x_0\notin[a,b]. \end{cases}
Isto significa que a delta “pega” o valor da função no ponto onde está concentrada.
  • Propriedade de escala: para a\neq0\], \[\delta(a x) = \frac{1}{|a|}\,\delta(x).\] Explicação/derivação simples dessa propriedade: faça a mudança de variável \(u = a x. Então du = a\,dx e
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(a x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} f\!\left(\frac{u}{a}\right)\,\delta(u)\,\frac{du}{|a|} = \frac{1}{|a|} f(0),
o que é consistente com usar \delta(a x) = \frac{1}{|a|}\delta(x) e depois a propriedade de amostragem. (Aqui foi usada a simetria quanto ao sinal de a e a definição via integração.)]

Passo 3

Aplicando as propriedades ao problema.
  • Usando a propriedade de escala com a=5, obtemos
\delta(5x)=\frac{1}{|5|}\,\delta(x)=\frac{1}{5}\,\delta(x).
  • Substituindo na integral:
\int_{-2}^{2} e^{7x+2}\,\delta(5x)\,dx = \int_{-2}^{2} e^{7x+2}\,\frac{1}{5}\,\delta(x)\,dx = \frac{1}{5}\int_{-2}^{2} e^{7x+2}\,\delta(x)\,dx.

Passo 4

Aplicando a propriedade de amostragem (como 0\in[-2,2]) e calculando o valor numérico.
  • Pela propriedade de amostragem,
\int_{-2}^{2} e^{7x+2}\,\delta(x)\,dx = e^{7\cdot 0 + 2} = e^{2}.
  • Portanto
\int_{-2}^{2} e^{7x+2}\,\delta(5x)\,dx = \frac{1}{5} e^{2}.

Resposta

\dfrac{e^{2}}{5}

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