Considere as duas matrizes
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ll} 1 & i \\\ i & 1 \end{array}\right), \quad B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} 1+i & 1-i \\\\ 1-i & 1+i \end{array}\right) .
Verifique que os determinantes de A e B são da forma e^{i \theta}. Encontre os valores correspondentes de \theta.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes complexas A e B:
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] i & 1\end{pmatrix}, \qquad B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i & 1-i \\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix}.
Pede-se verificar que os determinantes de A e B têm módulo 1, isto é, são da forma e^{i\theta}, e encontrar os respectivos valores de \theta. Vou apresentar cálculo detalhado de cada determinante e depois escrever cada resultado na forma exponencial e^{i\theta}.]

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vou usar e por que): para uma matriz escalares múltipla de dimensão n, vale
\det(\alpha M)=\alpha^{n}\det(M).
Aqui cada matriz é um escalar multiplicando uma matriz 2\times2, então n=2. Também usarei a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Explico: a,b,c,d podem ser números complexos; a fórmula é a mesma que para reais.]

Passo 3

Calcular \det(A). Primeiro aplico a propriedade do escalar:
\det(A)=\det\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\,M_A\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\det(M_A) = \frac{1}{2}\det(M_A),
onde
M_A=\begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] i & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculo \det(M_A) com a fórmula ad-bc:
\det(M_A)=1\cdot 1 - i\cdot i.
Como i^2=-1, tem-se
\det(M_A)=1 - i^{2}=1-(-1)=2.
Logo
\det(A)=\frac{1}{2}\cdot 2 = 1.

Passo 5

Interpretando 1 como número complexo de módulo 1: 1 pode ser escrito na forma exponencial de Euler como
1=e^{i\cdot 0}.
(Pode-se também adicionar múltiplos inteiros de 2\pi ao ângulo, isto é 1=e^{i(0+2\pi k)}, mas o valor principal de \theta é 0.)

Passo 6

Calcular \det(B). Primeiro aplico a propriedade do escalar:
\det(B)=\det\!\left(\frac{1}{2}M_B\right) =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\det(M_B) =\frac{1}{4}\det(M_B),
onde
M_B=\begin{pmatrix}1+i & 1-i \\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculo \det(M_B) usando ad-bc:
\det(M_B)=(1+i)(1+i) - (1-i)(1-i).
Faço as multiplicações com calma:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i,
(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i -1 = -2i.
Portanto
\det(M_B)=2i - (-2i) = 4i.
Logo
\det(B)=\frac{1}{4}\cdot 4i = i.

Passo 8

Escrever i na forma exponencial de Euler. Sabendo que i tem módulo 1 e argumento \pi/2 (ângulo de 90^\circ), tem-se
i = e^{i\pi/2}.
(De novo, poderia somar múltiplos de 2\pi ao ângulo se quiser a família completa de soluções.)

Passo 9

Resumo e interpretação rápida: \det(A)=1 tem módulo 1 e ângulo \theta=0. \det(B)=i tem módulo 1 e ângulo \theta=\pi/2. Isso confirma que ambos os determinantes são da forma e^{i\theta}.

Resposta

\det(A)=1=e^{i\cdot 0}
\det(B)=i=e^{i\pi/2}

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