A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ll} 1 & i \\\ i & 1 \end{array}\right), \quad B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} 1+i & 1-i \\\\ 1-i & 1+i \end{array}\right) .
Verifique que os determinantes de A e B são da forma e^{i \theta}. Encontre os valores correspondentes de \theta.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes complexas A e B:
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] i & 1\end{pmatrix}, \qquad B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i & 1-i \\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix}.
Pede-se verificar que os determinantes de A e B têm módulo 1, isto é, são da forma e^{i\theta}, e encontrar os respectivos valores de \theta. Vou apresentar cálculo detalhado de cada determinante e depois escrever cada resultado na forma exponencial e^{i\theta}.]
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vou usar e por que): para uma matriz escalares múltipla de dimensão n, vale
\det(\alpha M)=\alpha^{n}\det(M).
Aqui cada matriz é um escalar multiplicando uma matriz 2\times2, então n=2. Também usarei a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Explico: a,b,c,d podem ser números complexos; a fórmula é a mesma que para reais.]
Passo 3
Calcular \det(A). Primeiro aplico a propriedade do escalar:
Escrever i na forma exponencial de Euler. Sabendo que i tem módulo 1 e argumento \pi/2 (ângulo de 90^\circ), tem-se
i = e^{i\pi/2}.
(De novo, poderia somar múltiplos de 2\pi ao ângulo se quiser a família completa de soluções.)
Passo 9
Resumo e interpretação rápida: \det(A)=1 tem módulo 1 e ângulo \theta=0. \det(B)=i tem módulo 1 e ângulo \theta=\pi/2. Isso confirma que ambos os determinantes são da forma e^{i\theta}.