Use as relações para avaliar as seguintes integrais envolvendo a função delta de Dirac:
\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin (\theta / 2) \delta^{\prime \prime}(\theta+\pi) d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{-2\pi}^{2\pi} \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\delta''(\theta+\pi)\,d\theta.
Informações relevantes dadas:
  • A função dentro da integral é f(\theta)=\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
  • A distribuição é \delta''(\theta+\pi), que é a segunda derivada da delta de Dirac deslocada para o ponto \theta=-\pi.
  • O intervalo de integração é [-2\pi,2\pi], que contém o ponto \theta=-\pi (logo o suporte da delta está dentro do intervalo).

Passo 2

Recordando uma propriedade fundamental das derivadas da delta (aqui vou explicar passo a passo porque isso aparece muito em provas):
Para uma função teste suave \varphi e para n inteiro não-negativo vale a identidade (propriedade de distribuição)
\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x)\,\delta^{(n)}(x-a)\,dx = (-1)^n \,\varphi^{(n)}(a).
Explicando por que isso é verdade (esquema rápido por integração por partes):
  • Para n=1: \displaystyle \int \varphi(x)\,\delta'(x-a)\,dx = -\int \varphi'(x)\,\delta(x-a)\,dx = -\varphi'(a).
  • Para n=2: aplica-se integração por partes novamente e obtém-se \displaystyle \int \varphi\,\delta'' = \varphi''(a). Em geral aparece o fator (-1)^n.
    Essa identidade é a que vamos usar. Ela exige que o ponto a esteja dentro do intervalo de integração (caso contrário o resultado é zero).

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso:
  • Aqui n=2, a=-\pi e \varphi(\theta)=f(\theta)=\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
    Portanto
\int_{-2\pi}^{2\pi} \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\delta''(\theta+\pi)\,d\theta = (-1)^2 \left.\frac{d^2}{d\theta^2}\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|_{\theta=-\pi}.
Como (-1)^2=1, o resultado é simplesmente f''(-\pi).

Passo 4

Agora calculemos as derivadas de f(\theta)=\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) passo a passo (não pule etapa — isso é típico de prova):
Primeira derivada:
f'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right) =\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Segunda derivada:
f''(\theta)=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) =\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) =-\frac{1}{4}\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).

Passo 5

Avalie f''(\theta) em \theta=-\pi:
f''(-\pi) = -\frac{1}{4}\sin\!\left(\frac{-\pi}{2}\right).
Como \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1, segue
f''(-\pi) = -\frac{1}{4}\cdot(-1)=\frac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{4}

Exercícios relacionados