Use as relações para avaliar as seguintes integrais envolvendo a função delta de Dirac: \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin (\theta / 2) \delta^{\prime \prime}(\theta+\pi) d \theta.
Explicando por que isso é verdade (esquema rápido por integração por partes):
Para n=1: \displaystyle \int \varphi(x)\,\delta'(x-a)\,dx = -\int \varphi'(x)\,\delta(x-a)\,dx = -\varphi'(a).
Para n=2: aplica-se integração por partes novamente e obtém-se \displaystyle \int \varphi\,\delta'' = \varphi''(a). Em geral aparece o fator (-1)^n.
Essa identidade é a que vamos usar. Ela exige que o ponto a esteja dentro do intervalo de integração (caso contrário o resultado é zero).
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso:
Aqui n=2, a=-\pi e \varphi(\theta)=f(\theta)=\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).
Portanto