Use esse resultado para calcular os limites abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da função:
Aqui estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental em Cálculo, especificamente no estudo de como funções se comportam perto de certos pontos. Vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta quando $ x $ se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
A função $ \cos \left( \frac{1}{x} \right) $ oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ x $ diferente de zero. Porém, como estamos multiplicando por $ x $, que está se aproximando de 0, o termo $ x \cos \left( \frac{1}{x} \right) $ também está se aproximando de 0. Isso porque qualquer número pequeno multiplicado por um valor limitado (entre -1 e 1) resulta em um número ainda menor, tendendo a zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar o segundo termo do numerador: $ \sqrt{x^{2}+4} $.
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ x^{2} $ se torna muito pequeno comparado a 4. Portanto, $ \sqrt{x^{2}+4} $ se aproxima de $ \sqrt{0 + 4} = 2 $.
Então, o numerador completo se aproxima de:
Passo 4
Vamos agora olhar para o denominador da fração:
Quando $ x $ se aproxima de 0, esse termo se aproxima de:
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos que o numerador se aproxima de 2 e o denominador também se aproxima de 2. Portanto, o limite da fração toda será:
Resposta
O limite é igual a 1.