Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo.
t e^{a t}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função t e^{a t}. As informações dadas são:
  • A função é t e^{a t}.
  • a é um número real (ou, mais geralmente, complexo com parte real conhecida).
  • n é um inteiro positivo (isso sugere familiaridade com a fórmula para potências de t, mas aqui só precisamos de n=1).
    A pergunta é: qual é \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s) e em que região de s essa transformada converge?

Passo 2

Definição útil (transformada de Laplace): para uma função f(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt,
quando a integral converge.
Propriedade do deslocamento exponencial (às vezes o “resultado do Problema 28”): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a),
desde que F(s-a) esteja definido (ou seja, desde que \operatorname{Re}(s-a) caia na região de convergência de F). Vou justificar rapidamente essa propriedade a partir da definição:
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{a t}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).

Passo 3

Precisamos então da transformada de Laplace de f(t)=t. Há duas formas comuns de obter isso: a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para \operatorname{Re}(s)>0 (e aqui n=1), ou calcular direto pela integral usando integração por partes. Vou fazer a integração por partes para explicar passo a passo.
Começamos com a definição:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
Aplicando integração por partes: escolha u=t e dv=e^{-s t}\,dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \left. u v \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du = \left. -\dfrac{t}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} + \dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Agora avaliaremos os termos. Para que \left. t e^{-s t}\right|_{t\to\infty}=0 é necessário que \operatorname{Re}(s)>0 (essa condição garante decaimento exponencial que vence o crescimento linear de t). Com isso,
\left. -\dfrac{t}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} = 0 - 0 = 0.
E a integral restante é a transformada de 1:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left.\! -\dfrac{1}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} = \dfrac{1}{s},
novamente para \operatorname{Re}(s)>0. Portanto
\mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s^{2}}, \qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>0.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade do deslocamento exponencial ao caso f(t)=t. Se F(s)=\mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}, então
\mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=F(s-a)=\dfrac{1}{(s-a)^{2}}.
A condição de convergência é obtida exigindo que \operatorname{Re}(s-a)>0, ou seja
\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).

Passo 5

Como verificação alternativa, poderia-se calcular diretamente pela definição:
\mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-(s-a)t}\,dt.
Fazendo a mesma integração por partes com parâmetro \alpha=s-a chega-se ao mesmo resultado \dfrac{1}{(s-a)^{2}} e à mesma condição \operatorname{Re}(\alpha)>0, ou seja, \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a). Isso confirma que o uso da propriedade do deslocamento foi correto.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t e^{a t}\}(s)=\dfrac{1}{(s-a)^{2}},\quad \text{para }\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).

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