use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício, C é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A ao ponto B.
\int_{C}\left(x^{2}-y\right) d x-(x-3 z) d y+(z+3 y) d z ; A é (-3,1,2) e B é (3,0,4); Exercício 7

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: provar que o valor da integral de linha \int_{C}\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dx-\bigl(x-3z\bigr)\,dy+\bigl(z+3y\bigr)\,dzé independente do caminho C (ou seja, a forma é conservativa) e, em seguida, calcular essa integral usando um teorema (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2) que relaciona integral de linha com função potencial.
  • Dados: C é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A=(-3,1,2)até o ponto B=(3,0,4).
  • Informação útil (extraída do integrando): podemos identificar o campo vetorial cujos componentes multiplicam dx,dy,dz. Definimos F(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr),com P(x,y,z)=x^{2}-y,\qquad Q(x,y,z)=-(x-3z)=-x+3z,\qquad R(x,y,z)=z+3y.

Passo 2

Ideia teórica que vamos usar (explicada com calma, como se estivéssemos estudando junto).
  • Teorema chave (forma verbal, versão simplificada):
    • Se um campo vetorial F é conservativo (ou seja, existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=F), então a integral de linha de F entre dois pontos A e B depende apenas desses pontos: \int_{C}F\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).Esse é o Teorema Fundamental para integrais de linha (provavelmente o Teorema 19.3.1 no seu livro).
    • Uma maneira prática de verificar que um campo F=(P,Q,R) é conservativo numa região simplesmente conectada é verificar que o rotor (curl) de F é o vetor nulo: \nabla\times F=\mathbf{0}.Isso é provavelmente o conteúdo do Teorema 19.3.2 (condição suficiente de nulidade do curl em domínio simplesmente conexo).
  • Fórmula do rotor (curl) para F=(P,Q,R): \nabla\times F=\Bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\Bigr),onde, por exemplo, R_{y}=\dfrac{\partial R}{\partial y}, etc.
  • Plano de ataque:
    1. Calcular \nabla\times F. Se for \mathbf{0} e o domínio for simplesmente conectado (aqui o domínio natural é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conectado), então F é conservativo e a integral é independente do caminho.
    2. Determinar uma função potencial \varphi resolvendo \phi_{x}=P,\qquad \phi_{y}=Q,\qquad \phi_{z}=R.
    3. Calcular \varphi(B)-\varphi(A), que dá o valor da integral.

Passo 3

Calcular o rotor \nabla\times F passo a passo (cada derivada explicada).
  • Já temos P=x^{2}-y, Q=-x+3z, R=z+3y.
  • Calcular derivadas parciais necessárias:
    • R_{y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(z+3y\bigr)=3.
    • Q_{z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(-x+3z\bigr)=3.
    • P_{z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}-y\bigr)=0.
    • R_{x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(z+3y\bigr)=0.
    • Q_{x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-x+3z\bigr)=-1.
    • P_{y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y\bigr)=-1.
  • Montando o rotor com a fórmula:
    \nabla\times F=\Bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\Bigr) =\bigl(3-3,\;0-0,\;-1-(-1)\bigr)=\bigl(0,0,0\bigr).

Passo 4

Conclusão sobre independência de caminho (ligando a teoria ao cálculo feito).
  • Vimos que \nabla\times F=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^{3}.
  • O domínio natural do campo é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conectado (sem “buracos”).
  • Pelo teorema (condição suficiente), um campo com rotor nulo em uma região simplesmente conectada é conservativo; portanto a integral de linha é independente do caminho entre A e B.
  • Em linguagem de prova: como \nabla\times F=\mathbf{0} e o domínio é simplesmente conectado, existe \varphi tal que \nabla\varphi=F; logo para qualquer curva C de A a B, \int_{C}F\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).

Passo 5

Determinar a função potencial \varphi começando por integrar \phi_{x}=P.
  • Procuramos \varphi(x,y,z) tal que \phi_{x}=x^{2}-y.
  • Integramos em relação a x tratando y,z como constantes: \varphi(x,y,z)=\int\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dx=\dfrac{1}{3}x^{3}-xy+g(y,z),onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 6

Usar \phi_{y}=Q para determinar g(y,z).
  • Calculamos \phi_{y} a partir da expressão encontrada: \phi_{y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\Bigl(\dfrac{1}{3}x^{3}-xy+g(y,z)\Bigr)=-x+g_{y}(y,z).
  • Mas sabemos que \phi_{y} deve ser igual a Q=-x+3z. Igualando, -x+g_{y}(y,z)=-x+3z \quad\Rightarrow\quad g_{y}(y,z)=3z.
  • Integramos g_{y}=3z em relação a y: g(y,z)=\int 3z\,dy=3zy+h(z),onde h(z) é outra “constante” de integração que depende só de z.

Passo 7

Usar \phi_{z}=R para determinar h(z) e obter \varphi totalmente.
  • Agora temos \varphi(x,y,z)=\dfrac{1}{3}x^{3}-xy+3zy+h(z).
  • Calculamos \phi_{z}: \phi_{z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\Bigl(\dfrac{1}{3}x^{3}-xy+3zy+h(z)\Bigr)=3y+h'(z).
  • Devemos ter \phi_{z}=R=z+3y. Igualando: 3y+h'(z)=z+3y \quad\Rightarrow\quad h'(z)=z.
  • Integramos h'(z)=z: h(z)=\dfrac{1}{2}z^{2}+C,onde C é constante real irrelevante para a integral de linha.
  • Portanto uma função potencial válida é \varphi(x,y,z)=\dfrac{1}{3}x^{3}-xy+3zy+\dfrac{1}{2}z^{2}+C.(Vou desprezar a constante C nas contas, pois ela cancela no cálculo de \varphi(B)-\varphi(A).)

Passo 8

Aplicar o Teorema Fundamental (Teorema 19.3.1) e calcular \varphi(B) e \varphi(A).
  • Avaliando em B=(3,0,4): \varphi(3,0,4)=\dfrac{1}{3}\cdot 3^{3}-3\cdot 0+3\cdot 4\cdot 0+\dfrac{1}{2}\cdot 4^{2} =9+0+0+8=17.
  • Avaliando em A=(-3,1,2): \varphi(-3,1,2)=\dfrac{1}{3}\cdot(-3)^{3}-(-3)\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1+\dfrac{1}{2}\cdot 2^{2} =-9+3+6+2=2.

Passo 9

Calcular a integral usando \varphi(B)-\varphi(A) e concluir.
  • Pelo teorema: \int_{C}\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dx-\bigl(x-3z\bigr)\,dy+\bigl(z+3y\bigr)\,dz=\varphi(B)-\varphi(A)=17-2=15.
  • Portanto a integral é independente do caminho (já provado pelo rotor nulo em \mathbb{R}^{3}) e seu valor entre A e B é 15.

Resposta

15

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