use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício,
é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto
ao ponto
.
é
e
é
; Exercício 7
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: provar que o valor da integral de linha
é independente do caminho (ou seja, a forma é conservativa) e, em seguida, calcular essa integral usando um teorema (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2) que relaciona integral de linha com função potencial. - Dados:
é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto até o ponto - Informação útil (extraída do integrando): podemos identificar o campo vetorial cujos componentes multiplicam
. Definimos com
Passo 2
Ideia teórica que vamos usar (explicada com calma, como se estivéssemos estudando junto).
- Teorema chave (forma verbal, versão simplificada):
- Se um campo vetorial
é conservativo (ou seja, existe uma função potencial tal que ), então a integral de linha de entre dois pontos e depende apenas desses pontos: Esse é o Teorema Fundamental para integrais de linha (provavelmente o Teorema 19.3.1 no seu livro). - Uma maneira prática de verificar que um campo
é conservativo numa região simplesmente conectada é verificar que o rotor (curl) de é o vetor nulo: Isso é provavelmente o conteúdo do Teorema 19.3.2 (condição suficiente de nulidade do curl em domínio simplesmente conexo).
- Se um campo vetorial
- Fórmula do rotor (curl) para
: onde, por exemplo, , etc. - Plano de ataque:
- Calcular
. Se for e o domínio for simplesmente conectado (aqui o domínio natural é , que é simplesmente conectado), então é conservativo e a integral é independente do caminho. - Determinar uma função potencial
resolvendo - Calcular
, que dá o valor da integral.
- Calcular
Passo 3
Calcular o rotor
passo a passo (cada derivada explicada).
-
Já temos
, , . -
Calcular derivadas parciais necessárias:
-
-
Montando o rotor com a fórmula:
Passo 4
Conclusão sobre independência de caminho (ligando a teoria ao cálculo feito).
- Vimos que
em todo . - O domínio natural do campo é
, que é simplesmente conectado (sem “buracos”). - Pelo teorema (condição suficiente), um campo com rotor nulo em uma região simplesmente conectada é conservativo; portanto a integral de linha é independente do caminho entre
e . - Em linguagem de prova: como
e o domínio é simplesmente conectado, existe tal que ; logo para qualquer curva de a ,
Passo 5
Determinar a função potencial
começando por integrar
.
- Procuramos
tal que - Integramos em relação a
tratando como constantes: onde é uma “constante” de integração que pode depender de e .
Passo 6
Usar
para determinar
.
- Calculamos
a partir da expressão encontrada: - Mas sabemos que
deve ser igual a . Igualando, - Integramos
em relação a : onde é outra “constante” de integração que depende só de .
Passo 7
Usar
para determinar
e obter
totalmente.
- Agora temos
- Calculamos
: - Devemos ter
. Igualando: - Integramos
: onde é constante real irrelevante para a integral de linha. - Portanto uma função potencial válida é
(Vou desprezar a constante nas contas, pois ela cancela no cálculo de .)
Passo 8
Aplicar o Teorema Fundamental (Teorema 19.3.1) e calcular
e
.
- Avaliando em
: - Avaliando em
:
Passo 9
Calcular a integral usando
e concluir.
- Pelo teorema:
- Portanto a integral é independente do caminho (já provado pelo rotor nulo em
) e seu valor entre e é .