use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício,
é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto
ao ponto
.
;
é
e
é
; Exercício 2
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Integral a calcular:
. - A curva
é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto até o ponto . - Ponto
. - Ponto
.
O enunciado pede duas coisas implícitas:
- Provar que o valor da integral de linha é independente do caminho (ou seja, depende apenas dos pontos
e ). - Calcular a integral usando o Teorema apropriado (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2) e a função potencial determinada.
Passo 2
Identificar a forma diferencial e as componentes. Vou escrever a integral no formato padrão
.
- Aqui
. - Aqui
.
Explicando o que significa ser independente do caminho (de forma simples): se um campo vetorial
em uma região tem uma função potencial
tal que
, então para qualquer curva
de
para
ou seja, o valor depende só dos pontos finais — é independente do caminho. Uma condição prática para existir potencial é a igualdade das derivadas parciais mistas em uma região conveniente (região simplesmente conexa).
Passo 3
Verificar a condição de exatidão (ou igualdade das derivadas parciais mistas) e justificar por que vale para toda a região relevante.
Calcular as derivadas parciais:
Como
(ambas zero) em todo o plano
, e como
é uma região simplesmente conexa (sem “buracos”), concluímos que o campo
é conservativo e existe uma função potencial
definida em toda a região. Portanto a integral é independente do caminho.
(Explicação curta do porquê: em uma região sem buracos, a condição
é suficiente para garantir a existência de
.)
Passo 4
Determinar explicitamente a função potencial
.
Procuramos
tal que
Integrando a primeira igualdade em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante em relação a
).
Agora derivar essa expressão em relação a
e igualar a
:
Integrando
em relação a
:
onde
é constante real. Assim uma função potencial é
Observação prática: o termo constante
não altera diferenças
, então pode ser ignorado ao avaliar a integral.
Passo 5
Aplicar o Teorema (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2 — teorema fundamental para integrais de linha de campos conservativos): se
, então
.
Aqui
com
(escolhendo
para simplicidade). Portanto
Calcular
nos pontos:
Então