use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício, C é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A ao ponto B.
\int_{C} x d x+y d y; A é (-5,2) e B é (1,3); Exercício 2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Integral a calcular: \displaystyle \int_{C} x\,dx + y\,dy.
  • A curva C é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A até o ponto B.
  • Ponto A = (-5,2).
  • Ponto B = (1,3).
O enunciado pede duas coisas implícitas:
  1. Provar que o valor da integral de linha é independente do caminho (ou seja, depende apenas dos pontos A e B).
  2. Calcular a integral usando o Teorema apropriado (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2) e a função potencial determinada.

Passo 2

Identificar a forma diferencial e as componentes. Vou escrever a integral no formato padrão \displaystyle \int_C P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy.
  • Aqui P(x,y)=x.
  • Aqui Q(x,y)=y.
Explicando o que significa ser independente do caminho (de forma simples): se um campo vetorial (P,Q) em uma região tem uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=(P,Q), então para qualquer curva C de A para B
\int_C P\,dx + Q\,dy = \varphi(B)-\varphi(A),
ou seja, o valor depende só dos pontos finais — é independente do caminho. Uma condição prática para existir potencial é a igualdade das derivadas parciais mistas em uma região conveniente (região simplesmente conexa).

Passo 3

Verificar a condição de exatidão (ou igualdade das derivadas parciais mistas) e justificar por que vale para toda a região relevante.
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y) = 0.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} (ambas zero) em todo o plano \mathbb{R}^2, e como \mathbb{R}^2 é uma região simplesmente conexa (sem “buracos”), concluímos que o campo (P,Q) é conservativo e existe uma função potencial \varphi(x,y) definida em toda a região. Portanto a integral é independente do caminho.
(Explicação curta do porquê: em uma região sem buracos, a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x é suficiente para garantir a existência de \varphi.)

Passo 4

Determinar explicitamente a função potencial \varphi(x,y).
Procuramos \varphi tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=x, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=y.
Integrando a primeira igualdade em relação a x:
\varphi(x,y)=\int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2} + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (constante em relação a x).
Agora derivar essa expressão em relação a y e igualar a Q(x,y):
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=g'(y)=y.
Integrando g'(y)=y em relação a y:
g(y)=\int y\,dy=\tfrac{1}{2}y^{2} + C,
onde C é constante real. Assim uma função potencial é
\varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}x^{2} + \tfrac{1}{2}y^{2} + C.
Observação prática: o termo constante C não altera diferenças \varphi(B)-\varphi(A), então pode ser ignorado ao avaliar a integral.

Passo 5

Aplicar o Teorema (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2 — teorema fundamental para integrais de linha de campos conservativos): se \mathbf{F}=\nabla\varphi, então \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Aqui \mathbf{F}=(P,Q)=(x,y)=\nabla\varphi com \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}y^{2} (escolhendo C=0 para simplicidade). Portanto
\int_{C} x\,dx + y\,dy = \varphi(B)-\varphi(A).
Calcular \varphi nos pontos:
\varphi(B)=\varphi(1,3)=\tfrac{1}{2}\bigl(1^{2}+3^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}(1+9)=\tfrac{10}{2}=5,
\varphi(A)=\varphi(-5,2)=\tfrac{1}{2}\bigl((-5)^{2}+2^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}(25+4)=\tfrac{29}{2}.
Então
\int_{C} x\,dx + y\,dy = \varphi(B)-\varphi(A)=5 - \tfrac{29}{2} = \tfrac{10-29}{2} = -\tfrac{19}{2}.

Resposta

-\tfrac{19}{2}

Exercícios relacionados