Use o roteiro de esboçar o gráfico de uma curva para esboçar o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Usaremos o roteiro clássico: domínio e interceptos, comportamento nas pontas, derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão), e por fim unimos tudo num esboço.
Passo 2
Domínio e interceptos
O domínio é todo .
O domínio é todo
Intercepto em
:
Intercepto em
: há apenas uma raiz real (já que grau 5 com uma única troca de sinal), aproximadamente em
.
Comportamento nas pontas
Como o termo dominante é com coeficiente positivo, quando
temos
e quando
temos
.
Como o termo dominante é
Passo 3
Derivada primeira e extremos
Calculamos
Calculamos
Soluções de
:
Estudo de sinais de
:
- Em
: ⇒ (crescente). - Em
e : ⇒ (decrescente). - Em
: ⇒ (crescente).
Logo
- Em
troca de crescente → decrescente ⇒ máximo local em - Em
troca de decrescente → crescente ⇒ mínimo local em - Em
a derivada muda de para , não há extremo, mas uma reta tangente horizontal.
Passo 4
Derivada segunda e concavidade
Soluções de
:
Estudo de sinais de
:
- Em
: ⇒ concavidade para baixo. - Em
: ⇒ concavidade para cima. - Em
: ⇒ concavidade para baixo. - Em
: ⇒ concavidade para cima.
Coordenadas dos pontos de inflexão:
Isso dá aproximadamente
e em
o ponto
também é inflexão horizontal.
Passo 5
Esboço do gráfico
- Marque no plano cartesiano os pontos críticos e de inflexão:
, depois sobe até o máximo , cruza a concavidade para cima em , passa pelo inflexão horizontal , muda concavidade novamente em , desce até o mínimo e finalmente sobe para . - Conecte esses pontos com curvas suaves respeitando monotonia e concavidade em cada intervalo.
Resposta
O esboço qualitativo é uma curva que:
– Vem de
crescendo até o máximo em
.
– Decresce com concavidade para cima até cerca de ,
passa o ponto de tangente horizontal em ,
volta a decrescer com concavidade para baixo até cerca de ,
atinge o mínimo em e depois sobe com concavidade para cima rumo a
.
– Decresce com concavidade para cima até cerca de
passa o ponto de tangente horizontal em
volta a decrescer com concavidade para baixo até cerca de
atinge o mínimo em