Use o roteiro de esboçar o gráfico de uma curva para esboçar o gráfico de
f(x)=3 x^{5}-5 x^{3}+3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=3x^{5}-5x^{3}+3
Usaremos o roteiro clássico: domínio e interceptos, comportamento nas pontas, derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão), e por fim unimos tudo num esboço.

Passo 2

Domínio e interceptos
O domínio é todo \mathbb{R}.
Intercepto em y:
f(0)=3\quad\Longrightarrow\quad(0,3).
Intercepto em x: há apenas uma raiz real (já que grau 5 com uma única troca de sinal), aproximadamente em x\approx -1{,}3.
Comportamento nas pontas
Como o termo dominante é 3x^5 com coeficiente positivo, quando x\to+\infty temos f(x)\to+\infty e quando x\to-\infty temos f(x)\to-\infty.

Passo 3

Derivada primeira e extremos
Calculamos
f'(x)=15x^{4}-15x^{2}=15x^{2}(x^{2}-1)=15x^{2}(x-1)(x+1).
Soluções de f'(x)=0:
x=-1,\quad x=0,\quad x=1.
Estudo de sinais de f':
  • Em (-\infty,-1): x^{2}>1 f'>0 (crescente).
  • Em (-1,0) e (0,1): x^{2}<1 f'<0 (decrescente).
  • Em (1,\infty): x^{2}>1 f'>0 (crescente).
Logo
  • Em x=-1 troca de crescente → decrescente ⇒ máximo local em f(-1)=3(-1)^{5}-5(-1)^{3}+3=-3+5+3=5\quad\text{ponto }(-1,5).
  • Em x=1 troca de decrescente → crescente ⇒ mínimo local em f(1)=3-5+3=1\quad\text{ponto }(1,1).
  • Em x=0 a derivada muda de - para -, não há extremo, mas uma reta tangente horizontal.

Passo 4

Derivada segunda e concavidade
f''(x)=\bigl(15x^{2}(x^{2}-1)\bigr)'=30x\,(2x^{2}-1).
Soluções de f''(x)=0:
x=0,\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\approx\pm0{,}707.
Estudo de sinais de f'':
  • Em \bigl(-\infty,-\tfrac1{\sqrt2}\bigr): f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Em \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},0\bigr): f''>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Em \bigl(0,\tfrac1{\sqrt2}\bigr): f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Em \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\infty\bigr): f''>0 ⇒ concavidade para cima.
Coordenadas dos pontos de inflexão:
f\bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2}\bigr) =3\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)^{5}-5\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)^{3}+3 =3\Bigl(\pm\frac{\sqrt2}{8}\Bigr)-5\Bigl(\pm\frac{\sqrt2}{4}\Bigr)+3 =3\mp\frac{7\sqrt2}{8}.
Isso dá aproximadamente
\Bigl(-0{,}707,\;3+\frac{7\sqrt2}{8}\approx4{,}24\Bigr), \quad \Bigl(0{,}707,\;3-\frac{7\sqrt2}{8}\approx1{,}76\Bigr),
e em x=0 o ponto (0,3) também é inflexão horizontal.

Passo 5

Esboço do gráfico
  1. Marque no plano cartesiano os pontos críticos e de inflexão:
    (-\infty,-\infty), depois sobe até o máximo (-1,5), cruza a concavidade para cima em \bigl(-0{,}707,4{,}24\bigr), passa pelo inflexão horizontal (0,3), muda concavidade novamente em \bigl(0{,}707,1{,}76\bigr), desce até o mínimo (1,1) e finalmente sobe para (+\infty,+\infty).
  2. Conecte esses pontos com curvas suaves respeitando monotonia e concavidade em cada intervalo.

Resposta

O esboço qualitativo é uma curva que:
– Vem de (-\infty,-\infty) crescendo até o máximo em (-1,5).
– Decresce com concavidade para cima até cerca de \bigl(-0{,}707,4{,}24\bigr),
passa o ponto de tangente horizontal em (0,3),
volta a decrescer com concavidade para baixo até cerca de \bigl(0{,}707,1{,}76\bigr),
atinge o mínimo em (1,1) e depois sobe com concavidade para cima rumo a (+\infty,+\infty).

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