Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem (quando possível), conforme o caso:
-3 x{2}+y{2}-2 z^{2}-18 x-10 y-28 z-106=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de superfície quádricas definida por
-3x^{2} + y^{2} - 2z^{2} - 18x - 10y - 28z - 106 = 0
e dizer ao longo de que eixo ela ocorre. Vamos usar completamento de quadrados e a forma padrão das quádricas.

Passo 2

Agrupamos os termos em x, y e z:
-3x^{2} - 18x \;+\; y^{2} - 10y \;-\; 2z^{2} - 28z \;-\; 106 \;=\; 0.

Passo 3

Completamos o quadrado em cada variável:
-3\bigl(x^{2}+6x\bigr)= -3\bigl((x+3)^{2}-9\bigr)= -3(x+3)^{2}+27,
\;y^{2}-10y=(y-5)^{2}-25,
-2\bigl(z^{2}+14z\bigr)= -2\bigl((z+7)^{2}-49\bigr)= -2(z+7)^{2}+98.
Substituindo na equação e somando constantes 27-25+98-106=-6, obtemos
-3(x+3)^{2} + (y-5)^{2} - 2(z+7)^{2} - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3(x+3)^{2} + (y-5)^{2} - 2(z+7)^{2} = 6.

Passo 4

Passamos para a forma padrão dividindo por 6:
\frac{(y-5)^{2}}{6} \;-\; \frac{(x+3)^{2}}{2} \;-\; \frac{(z+7)^{2}}{3} \;=\; 1.

Passo 5

Como só o termo (y-5)^{2} aparece com sinal positivo e há duas variáveis com sinal negativo, a superfície é um hiperbolóide de duas folhas. O eixo de simetria é paralelo ao eixo y, passando pelo ponto central \bigl(-3,5,-7\bigr).

Resposta

Hiperbolóide de duas folhas, com eixo paralelo ao eixo y e centro em \bigl(-3,5,-7\bigr).

Exercícios relacionados