Use o roteiro para esboçar o gráfico.
.
Passo 1
O enunciado pede esboçar o gráfico da função cúbica
O conteúdo é análise de função visando o esboço: vamos determinar domínio, interceptos, comportamento em
, derivada primeira (extremos e monotonia) e derivada segunda (inflexão e concavidade).
Passo 2
Determinamos domínio e interceptos. Como é um polinômio, o domínio é todo
. Para os zeros, fatoramos:
Logo os zeros são
(simples) e
(multiplicidade 2). O intercepto em
é
, coincidindo com o zero em
.
Passo 3
Analisamos o comportamento em
e o sinal de
. Como o coeficiente de
é positivo,
O fator
é sempre não negativo. Portanto
– Para ,
.
– Para (exceto
),
e
, logo
.
– Para
– Para
Passo 4
Calculamos a derivada primeira para achar extremos e monotonia:
As raízes são
e
. O sinal de
revela:
– Em , ambos
e
tornam
(crescente).
– Em ,
e
tornam
(decrescente).
– Em , ambos positivos,
(crescente).
Logo há um máximo local em com
e um mínimo local em
com
– Em
– Em
– Em
Logo há um máximo local em
Passo 5
Para concavidade e ponto de inflexão, usamos a derivada segunda:
Temos
em
, onde ocorre ponto de inflexão com
Para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima).
Passo 6
Juntando tudo, o esboço qualitativo é:
– Cresce até , onde há um máximo local;
– Desce até , onde há um mínimo local;
– Cresce depois em .
O ponto de inflexão fica entre máximo e mínimo, marcando troca de concavidade.
– Cresce até
– Desce até
– Cresce depois em
O ponto de inflexão
Resposta
O gráfico de
tem:
– zeros em (toque de multiplicidade 2) e
;
– máximo local em ;
– mínimo local em ;
– ponto de inflexão em ;
– cresce em , decresce em
;
– concavidade para baixo em , para cima em
.
– zeros em
– máximo local em
– mínimo local em
– ponto de inflexão em
– cresce em
– concavidade para baixo em