Use o roteiro para esboçar o gráfico.
f(x)=x^{3}+6 x^{2}+9 x.

Passo 1

O enunciado pede esboçar o gráfico da função cúbica
f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x
O conteúdo é análise de função visando o esboço: vamos determinar domínio, interceptos, comportamento em \pm\infty, derivada primeira (extremos e monotonia) e derivada segunda (inflexão e concavidade).

Passo 2

Determinamos domínio e interceptos. Como é um polinômio, o domínio é todo \mathbb{R}. Para os zeros, fatoramos:
f(x)=x\,(x^{2}+6x+9)=x\,(x+3)^{2}.
Logo os zeros são \,x=0 (simples) e \,x=-3 (multiplicidade 2). O intercepto em y é f(0)=0, coincidindo com o zero em x=0.

Passo 3

Analisamos o comportamento em \pm\infty e o sinal de f. Como o coeficiente de x^{3} é positivo,
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
O fator (x+3)^{2} é sempre não negativo. Portanto
– Para x>0, f(x)>0.
– Para x<0 (exceto x=-3), (x+3)^{2}>0 e x<0, logo f(x)<0.

Passo 4

Calculamos a derivada primeira para achar extremos e monotonia:
f'(x)=3x^{2}+12x+9=3(x+1)(x+3).
As raízes são x=-3 e x=-1. O sinal de f' revela:
– Em (-\infty,-3), ambos (x+3)<0 e (x+1)<0 tornam f'>0 (crescente).
– Em (-3,-1), (x+3)>0 e (x+1)<0 tornam f'<0 (decrescente).
– Em (-1,+\infty), ambos positivos, f'>0 (crescente).
Logo há um máximo local em \,x=-3 com f(-3)=0 e um mínimo local em \,x=-1 com
f(-1)=(-1)^{3}+6(-1)^{2}+9(-1)=-1+6-9=-4.

Passo 5

Para concavidade e ponto de inflexão, usamos a derivada segunda:
f''(x)=6x+12=6(x+2).
Temos f''(x)=0 em x=-2, onde ocorre ponto de inflexão com
f(-2)=(-8)+6\cdot4+9\cdot(-2)=-8+24-18=-2.
Para x<-2, f''(x)<0 (concavidade para baixo); para x>-2, f''(x)>0 (concavidade para cima).

Passo 6

Juntando tudo, o esboço qualitativo é:
– Cresce até (-3,0), onde há um máximo local;
– Desce até (-1,-4), onde há um mínimo local;
– Cresce depois em +\infty.
O ponto de inflexão (-2,-2) fica entre máximo e mínimo, marcando troca de concavidade.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x tem:
– zeros em (-3,0) (toque de multiplicidade 2) e (0,0);
– máximo local em (-3,0);
– mínimo local em (-1,-4);
– ponto de inflexão em (-2,-2);
– cresce em (-\infty,-3)\cup(-1,+\infty), decresce em (-3,-1);
– concavidade para baixo em (-\infty,-2), para cima em (-2,+\infty).

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