Questão 3 ( 3,0 pontos). Calcule as integrais:
\int_{0}^{3 / 2} \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3/2}\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}\,dx.
Este tipo de integral é clássico para usar substituição, pois o numerador x está relacionado à derivada de 9 - x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 9 - x^{2},
então
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac12\,du.
Quando x = 0, u = 9. Quando x = \tfrac32,
u = 9 - \bigl(\tfrac32\bigr)^{2} = 9 - \tfrac{9}{4} = \tfrac{27}{4}.
A integral vira
\int_{0}^{3/2}\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}\,dx = \int_{u=9}^{u=27/4}\frac{-\tfrac12\,du}{\sqrt{u}} = -\tfrac12\int_{9}^{27/4}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Calculamos o integral indefinido de u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2u^{\tfrac12} + C.
Logo,
-\tfrac12\int u^{-\tfrac12}\,du = -\tfrac12\bigl(2u^{\tfrac12}\bigr) + C = -\sqrt{u} + C.
Em termos de x, uma primitiva é
F(x) = -\sqrt{9 - x^{2}}.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a \tfrac32:
\int_{0}^{3/2}\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}\,dx = F\bigl(\tfrac32\bigr) - F(0) = \bigl[-\sqrt{9 - (\tfrac32)^{2}}\bigr] - \bigl[-\sqrt{9 - 0^{2}}\bigr].
Calculando cada termo:
\sqrt{9 - (\tfrac32)^{2}} = \sqrt{\tfrac{27}{4}} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}, \quad \sqrt{9} = 3.
Então
F\bigl(\tfrac32\bigr) - F(0) = \bigl[-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr] - (-3) = 3 - \tfrac{3\sqrt{3}}{2}.

Resposta

3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}

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