Calcule o volume do sólido W limitado pelas superfícies z=-y, y=x^{2}-1 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W limitado pelas superfícies
z=-y,\quad y=x^{2}-1,\quad z=0.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos projetar W no plano xy e, em seguida, montar a integral iterada.

Passo 2

Para determinar a projeção no plano xy, note que sobre W temos
0 \le z \le -y.
Como -y\ge0, segue y\le0. Além disso, a face vertical é dada por y = x^2-1, de modo que
x^2 - 1 \le y \le 0.
Para que x^2-1\le0 é preciso -1\le x\le1. Logo, a região de projeção D é
D = \{(x,y)\mid -1\le x\le1,\;x^2-1\le y\le0\}.

Passo 3

Escrevendo o volume como integral tripla, temos
V = \iiint_{W}1\,dV = \int_{x=-1}^{1}\int_{y=x^2-1}^{0}\int_{z=0}^{-y}1\;dz\;dy\;dx.

Passo 4

Calcule primeiro a integral em z:
\int_{z=0}^{-y}1\,dz = -y.
Então
V = \int_{-1}^{1}\int_{x^2-1}^{0}(-y)\;dy\;dx.

Passo 5

Agora a integral em y:
\int_{y=x^2-1}^{0}(-y)\,dy = \left[-\tfrac{y^2}{2}\right]_{y=x^2-1}^{y=0} = 0 - \bigl(-\tfrac{(x^2-1)^2}{2}\bigr) = \frac{(x^2-1)^2}{2}.
Portanto
V = \int_{-1}^{1}\frac{(x^2-1)^2}{2}\;dx = \frac12\int_{-1}^{1}(x^2-1)^2\;dx.

Passo 6

Expandindo e integrando em x:
(x^2-1)^2 = x^4 - 2x^2 +1,
\int_{-1}^{1}(x^4 - 2x^2 +1)\,dx = \int_{-1}^{1}x^4\,dx \;-\;2\int_{-1}^{1}x^2\,dx \;+\;\int_{-1}^{1}1\,dx.
Como
\displaystyle\int_{-1}^{1}x^4\,dx = \tfrac{2}{5},
\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2\,dx = \tfrac{2}{3},
\displaystyle\int_{-1}^{1}1\,dx = 2,
segue
\int_{-1}^{1}(x^4 - 2x^2 +1)\,dx = \tfrac{2}{5} -2\cdot\tfrac{2}{3} +2 = \frac{6 -20 +30}{15} = \frac{16}{15}.
Então
V = \frac12\cdot\frac{16}{15} = \frac{8}{15}.

Resposta

O volume do sólido W é \displaystyle \frac{8}{15}.

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