Use o roteiro da Seçăo 4.5 para esboçar a curva.
y=2-2 x-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva
y = 2 - 2x - x^3.
O conteúdo aqui é esboço de funções polinomiais por meio de derivadas. Para resolver, vamos seguir o roteiro da Seção 4.5, isto é: identificar domínio, interceptos e simetria; estudar a monotonicidade com a derivada primeira; analisar concavidade e pontos de inflexão com a derivada segunda; verificar comportamento nos extremos (assíntotas ou fins de ramo); e, por fim, reunir tudo no esboço.

Passo 2

Domínio, interceptos e simetria:
– Como é um polinômio, o domínio é \mathbb{R}.
– Intercepto em y: para x=0, y=2, logo o ponto (0,2).
– Interceptos em x: resolvemos
2 - 2x - x^3 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^3 + 2x - 2 = 0.
Por tentativa/numericamente, há uma única raiz real aproximadamente x\approx 0{,}755. Logo o intercepto em x é \bigl(0{,}755,0\bigr).
– Simetria: como nem x^3 nem x aparecem apenas em termos pares, não há paridade (nem função par nem ímpar).

Passo 3

Monotonicidade (derivada primeira):
y' = \frac{d}{dx}(2 - 2x - x^3) = -2 - 3x^2.
Como x^2\ge0, temos -2 - 3x^2<0 para todo x. Portanto y' é sempre negativa e a função é estritamente decrescente em \mathbb{R}. Não há extremos locais.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão (derivada segunda):
y'' = \frac{d}{dx}(-2 - 3x^2) = -6x.
– Para x<0, y''>0: concavidade para cima.
– Para x>0, y''<0: concavidade para baixo.
– Em x=0, y''=0 e troca de concavidade, logo ponto de inflexão em (0,2).

Passo 5

Comportamento nos extremos e assíntotas:
– Como é polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais nem horizontais.
– Fins de ramo: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=-\infty e \displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=+\infty.

Passo 6

Reunindo tudo para o esboço:
– A curva é estritamente decrescente em toda reta.
– Em (-\infty,0) é côncava para cima, chega de +\infty em x\to-\infty e vai diminuindo até o ponto de inflexão (0,2).
– Em (0,+\infty) é côncava para baixo, cruza o eixo x em \bigl(0{,}755,0\bigr) e continua decrescendo até -\infty.
– Pontos-chave: intercepto em y em (0,2), inflexão em (0,2), intercepto em x em (0{,}755,0).

Resposta

O esboço da curva y=2-2x-x^3 é o de um polinômio cúbico decrescente em todo \mathbb{R}, com ponto de inflexão em (0,2), intercepto em x aproximadamente em (0{,}755,0), sem extremos locais e sem assíntotas. A curva vem de +\infty em x\to-\infty, passa por (0,2) com concavidade mudando de cima para baixo, cruza o eixo x em (0{,}755,0) e segue para -\infty quando x\to+\infty.

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