Use o roteiro da Seçăo 4.5 para esboçar a curva.
y=x^{4}-3 x^{3}+3 x^{2}-x

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva
y = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x
usando o roteiro de esboço de funções (Seção 4.5): domínio, interceptos, comportamento nas extremidades, derivada primeira para monotonia, derivada segunda para concavidade, pontos críticos e de inflexão.

Passo 2

Domínio e interceptos:
– O domínio é todo \mathbb{R}.
– Intercepto em y quando x=0:
y(0)=0,
logo passa pela origem (0,0).
– Interceptos em x resolvendo
x^4 -3x^3 +3x^2 -x = x\,(x^3-3x^2+3x-1)=0
\implies x=0\quad\text{ou}\quad x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=0\;\Rightarrow\;x=1.
Então os zeros são (0,0) e (1,0) (com multiplicidade 3).

Passo 3

Comportamento para x\to\pm\infty:
– O termo líder é x^4>0, logo \lim_{x\to\pm\infty}y = +\infty.

Passo 4

Derivada primeira e monotonia:
y' = 4x^3 -9x^2 +6x -1 = (x-1)^2(4x-1).
Zerou em x=1 (multiplicidade 2) e em x=\tfrac14. Testando sinais:
– Em (-\infty,\tfrac14), y'<0 ⇒ decrescente.
– Em (\tfrac14,\infty), y'>0 ⇒ crescente.
Logo há mínimo local em x=\tfrac14; em x=1 a derivada muda de sinal “ + \Rightarrow+)” (ponto de platô sem extremum).
Valor do mínimo:
y\Bigl(\tfrac14\Bigr) =\Bigl(\tfrac14\Bigr)^4-3\Bigl(\tfrac14\Bigr)^3+3\Bigl(\tfrac14\Bigr)^2-\tfrac14 =-\tfrac{27}{256}.

Passo 5

Derivada segunda e concavidade:
y'' = 12x^2 -18x +6 = 6(2x-1)(x-1).
Zera em x=\tfrac12 e x=1. Testando:
– Em (-\infty,\tfrac12), y''>0 ⇒ concavidade para cima.
– Em (\tfrac12,1), y''<0 ⇒ concavidade para baixo.
– Em (1,\infty), y''>0 ⇒ concavidade para cima.
Pontos de inflexão em
\Bigl(\tfrac12,y(\tfrac12)\Bigr) =\Bigl(\tfrac12,-\tfrac1{16}\Bigr) \quad\text{e}\quad (1,0).

Passo 6

Consolidando e esboçando:
– Decrescente até x=\tfrac14, atinge mínimo \bigl(\tfrac14,-\tfrac{27}{256}\bigr), depois cresce para +\infty.
– Concavidade muda em x=\tfrac12 (inflexão passando de “ \cup” para “ \cap”) e em x=1 (inflexão horizontal).
– Zeros em (0,0) e (1,0), com tangente horizontal em x=1.

Resposta

O esboço da curva y=x^4-3x^3+3x^2-x apresenta:
– Domínio \mathbb R.
– Zeros em (0,0) e (1,0) (multiplicidade 3).
– Mínimo local em \bigl(\tfrac14,-\tfrac{27}{256}\bigr).
– Pontos de inflexão em \bigl(\tfrac12,-\tfrac1{16}\bigr) e em (1,0).
– Decrescente em (-\infty,\tfrac14), crescente em (\tfrac14,\infty).
– Concavidade para cima em (-\infty,\tfrac12) e (1,\infty), e para baixo em (\tfrac12,1).

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