Use o roteiro da Seçăo 4.5 para esboçar a curva.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva
usando o roteiro de esboço de funções (Seção 4.5): domínio, interceptos, comportamento nas extremidades, derivada primeira para monotonia, derivada segunda para concavidade, pontos críticos e de inflexão.
Passo 2
Domínio e interceptos:
– O domínio é todo .
– Intercepto em quando
:
– O domínio é todo
– Intercepto em
logo passa pela origem
.
– Interceptos em resolvendo
– Interceptos em
Então os zeros são
e
(com multiplicidade 3).
Passo 3
Comportamento para
:
– O termo líder é , logo
.
– O termo líder é
Passo 4
Derivada primeira e monotonia:
Zerou em
(multiplicidade 2) e em
. Testando sinais:
– Em ,
⇒ decrescente.
– Em ,
⇒ crescente.
Logo há mínimo local em ; em
a derivada muda de sinal “
)” (ponto de platô sem extremum).
– Em
– Em
Logo há mínimo local em
Valor do mínimo:
Passo 5
Derivada segunda e concavidade:
Zera em
e
. Testando:
– Em ,
⇒ concavidade para cima.
– Em ,
⇒ concavidade para baixo.
– Em ,
⇒ concavidade para cima.
Pontos de inflexão em
– Em
– Em
– Em
Pontos de inflexão em
Passo 6
Consolidando e esboçando:
– Decrescente até , atinge mínimo
, depois cresce para
.
– Concavidade muda em (inflexão passando de “
” para “
”) e em
(inflexão horizontal).
– Zeros em e
, com tangente horizontal em
.
– Decrescente até
– Concavidade muda em
– Zeros em
Resposta
O esboço da curva
apresenta:
– Domínio .
– Zeros em e
(multiplicidade 3).
– Mínimo local em .
– Pontos de inflexão em e em
.
– Decrescente em , crescente em
.
– Concavidade para cima em e
, e para baixo em
.
– Domínio
– Zeros em
– Mínimo local em
– Pontos de inflexão em
– Decrescente em
– Concavidade para cima em