Use as sequências das somas parciais para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a sequência de somas parciais, que a série
é convergente e tem valor final
. O conteúdo principal aqui é o telescoping: muitos termos vão se cancelar na soma parcial.
Passo 2
Definimos a soma parcial
como
Escrevendo os primeiros termos:
Note que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante, até o penúltimo termo.
Passo 3
Depois do cancelamento em cadeia, sobra apenas
Para obter o valor da série infinita, fazemos
. Como
concluímos que