Use as sequências das somas parciais para mostrar que
sumn=1^infty(1raizn-1raizn+1)=12

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a sequência de somas parciais, que a série
sumn=1^inftyl(1raizn-1raizn+1r)
é convergente e tem valor final 1. O conteúdo principal aqui é o telescoping: muitos termos vão se cancelar na soma parcial.

Passo 2

Definimos a soma parcial SN como
SN=sumn=1^Nl(1raizn-1raizn+1r)
Escrevendo os primeiros termos:
SN=l(tfrac1raiz1-tfrac1raiz2r) +l(tfrac1raiz2-tfrac1raiz3r) +cdots+ l(tfrac1raizN-tfrac1raizN+1r)
Note que -tfrac1raiz2 cancela com +tfrac1raiz2, -tfrac1raiz3 cancela com +tfrac1raiz3, e assim por diante, até o penúltimo termo.

Passo 3

Depois do cancelamento em cadeia, sobra apenas
SN = 1raiz1 ;-;1raizN+1 = 1 ;-;1raizN+1
Para obter o valor da série infinita, fazemos Ntoinfty. Como
limNtoinfty1raizN+1 = 0,
concluímos que
limNtoinftySN=1-0=1

Resposta

1

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